Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 127

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 138 >> Следующая

/ 1 ау
R(a)"( az 1 - ах
\-ау ах 1
Следовательно, произведение R(a)R(b) равно R (с) = R (a) R (Ь) =
cos&-azsinfr -sin 6-azcosb ау
a2 cos ft-f sin 6 - аг sin ft-{-cos ft -ax
-aycos ft + axsin ft av sin ft-faxcosft 1
(П4.18)
Нам остается, исходя из этой матрицы, найти параметры с. Угол с можно
найти, приравняв след матрицы R (с) следу матрицы поворота на угол с, т.
е. величине (1 -(-2 cos с). Отсюда получаем cos c = cosft-azsinft.
Поэтому с учетом малости аг имеем c = b + az. Чтобы найти направление
вектора с, воспользуемся тем, что он инвариантен относительно вращения
R(c):
R (с) с = с. (П4.19)
Используя равенство (П4.19), нужно соблюдать известную осторожность и
помнить о том, что приближение (П4.18) для матрицы R(c) справедливо лишь
с точностью до членов первого порядка по а. Однако из (П4.19) и
унитарности преобразований вращения следует, что и Rt (с)с = с, так что
{R (с)-Rt (с)} с = 0. Это условие выражается тремя уравнениями
- 2(sinb-fazcosb)Cj/ + [ay (1 + cos ft)-axsinft]c2 = 0,
2 (sin b-\-az cos b)cx-[ax(l -f-cosft)-{-ay sin b]cz = 0,
[-ay (1 + cos ft) + ax sin ft]cx-f [aysinft+ax(l+cos ft)] cy=0.
Следовательно, отношение компонент cx, cy и cz вектора с равно
{ау sinft-{-ax (1 + cos b)}:{- ax sin b + ay (1 -{-cos ft)}:
Некоторые формулы, относящиеся к группе 51 я
375
дс
да'
2{sinb-f-azcosb} или, с точностью до членов первого порядка по а,
у {а" + а* (1 + cos bVsin b} '• if {- ax + av (1 -'cos bVs[n b}: 1 •
Ранее мы видели, что c = b + az. Поэтому окончательно с точностью до
членов первого порядка по а имеем
cx = -jb\av + ax (1 -t-cosf>)/sinft},
cy~~2b {- ах ~h ?гу(1 "Ь cos b)/sin Ь},
cz = b + az.
Теперь вычисляем искомый якобиан
V2fr(l ~hcosb)/sinb V* b О
-х!гЬ xl%b (1 -f-cos fc)/sin b 0
0 0 1
= y b* (1 -f- cos b)/s in2 b.
В пределе при а-"-О можно положить Ъ - с, и мы получим выражение для
весовой функции
12Jt^- (П4.20)
Объем группы, определенный выше, равен
V:= j 2(I 'a'i°Sa' da- dav da*•
%
Переходя к сферическим координатам для вектора а, получаем
| 2 (1-^2C0S - a2 da JJ dQ = 8п2.
а = О
Тогда среднее по группе (П4.17) принимает вид
4^2 j/(a) (!-1cos a)dadQ. (П4.21)
а
В случае функции /(а), не зависящей от направления
вектора а (этому условию удовлетворяет любая функция
3?6
Приложение 4
классов сопряженности, например характер представления), среднее
принимает вид
я
-i- J f(a){ 1-cosa)da. (ГН.22)
j=0
Заменив конечную сумму в формуле (4.25а) средним (П4.22), получим
соотношение ортогональности для характеров представлений группы 5i3
71
4" J Xa'Vi*' (1 -COS a);da =*bJxJt (П4.23)
о
В правильности этого соотношения можно убедиться' воспользовавшись
формулой (7.42) для характеров. Следует, однако, отметить, что
соотношение ортогональности не выполняется для двузначных представлений,
т. е. при полуцелых значениях параметра /. Ортогональность характеров
этих ^представлений можно восстановить, расширив область изменения угла
до 2я. В этой области представления с полуцелыми / однозначны. Далее о
таком расширении группы 91а см. гл. 7, § 6 и гл. 18, § 13, п.'В.
Если вместо alt a2 и а3 взять в качестве параметров вращения углы Эйлера
а, р и у, то можно показать (гл. 20, § 5), что весовая функция равна p(a,
р, y) = sinp, так что среднее по группе принимает вид
2я я 2я
J j [ f ("> P. у) sin pdoc ripely. (П4.24)
V=0 P = 0 a=0
Соотношение ортогональности для матричных элементов неприводимых
представлений принимает с учетом формулы (4.23) вид
2Я Я 2я
P. у) sin pda dp dy=
о о б
=*№У.,.Й.+ |Г' (П4.25)
При полуцелых значениях / нужно опять удвоить область изменения
параметров. Этого можно добиться разными способами, например увеличив
область изменения угла а до 4л.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
МЕТОДЫ РАСЧЕТА АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ
В § 1 проводится ряд подробных вычислений уровней энергии атома для
конфигураций р2 и р3 в подкрепление качественных результатов, полученных
в гл. 8. В § 2 мы возвращаемся к теории углового момента и группы ЭИЪ\
здесь рассматриваются более сложные задачи, которые возникают при
связывании более двух угловых моментов. Некоторые из сделанных выводов
используются в § 3 для вычисления интенсивностей атомных переходов. В
последних двух параграфах (§ 4 и 5) приводятся дополнительные сведения о
влиянии симметрии кристаллического поля-кроме тех, которые приводились в
т. 1, гл. 9, § 9.
§ 1. ЭНЕРГИИ ТЕРМОВ ДЛЯ КОНФИГУРАЦИЙ р2 И р3
Два валентных />-электрона
Сначала вычислим энергии трех термов 3Р, XS и XD для двух электронов,
находящихся в оболочке с / = 1 (гл. 8, § 6, п. Г), пользуясь простейшим
методом "диагональной суммы". Более сложный метод, требующий знания
табличных коэффициентов, излагается в § 2. Мы воспользуемся тем
обстоятельством, что, поскольку куло-новское отталкивание ег/г12
инвариантно относительно вращений всех частиц, энергии независимы от ML и
диа-гональны по L. Это дает нам возможность выбрать любое удобное
значение ML. Матричные элементы кулоновского отталкивания проще всего
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed