Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 123

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 138 >> Следующая

11.10. (3/8)1/г I (30) 13/2 3/2. (11) 010>-(а/8),/г j (30)
13/21/2,
(11)011> - (1/s)1/*| (30) 13/2 3/2, (11)000> +
Н- (a/8)1/stI (30) 011, (11) I1/* V*>. (Фаза здесь произвольна.)
12.7. 12+> = (V3)'^ | at "t >-(Vs)v* |afa+ st>, I A> = (Vs)'/" | Mf "t di
> -(V,)V.| dt st >.
Решения задач тома 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Здесь (в дополнение к изложенному в т. 1, гл. 4) собраны некоторые
полезные, но более специальные сведения о представлениях групп.
§ 1. СИММЕТРИЗОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В гл. 4, § 17 мы определили прямое произведение Т(а>$Т<Р> двух
представлений группы Ъ и вывели простую формулу (4.43) для характера
такого представления. Это определение естественным образом обобщается на
произведение га представлений: т = т("> (g)T(P' 0... .
В данном параграфе мы рассмотрим частный случай такого произведения,
когда все сомножители эквивалентны (т. е. а =(r)р =...). При этом для
удобства введем семейство базисных векторов в виде произведений функций,
как в гл. 4, § 17. Обозначим через ср,-, где i= 1,2, ..., s", семейство
функций, преобразующихся по неприводимому представлению Т">. Тогда
множество (sa)" произведений типа ф,- (1) фу (2).. .фА (га) дает базис
для представления Т:
Тф1.(1)ф,(2)...ф*(я) = г ктр!т?}...
¦ ¦ • Лйкфн (О ФГ (2) • • • Ф*' (")•
Индекс р у функции фt{p) нужен для нумерации сомножителей; он фигурирует
также в определении скалярного произведения:
(фс (1) Фг (2) • • • ф*' ("), Ф,- (1) Фу (2) ... Фй (га)) =
= (ф;'0)> Ф/(1))(ф/'(2). ф/ (2)) ... (Ф4'(га), Фй (га)) =
= . . . Sj'ft.
Значит, в случае ортонормальныхГфункций ф,- множество их произведений
также ортонормально. (В физических
Дополнительные сведения по теории представлений 361
приложениях р-индекс [частиц системы, a t-индекс возможных состояний
частицы.)' Введем! удобное и компактное обозначение [ i /... k> = ф, (1)
ср,- (2)... фЦп). Здесь индекс р не пишется, но он определяется порядком
расположения индексов вектора \ij...k>. Скалярное произведение теперь
записывается в виде <"'/'.. .k' \ ij-¦ .&>. (В квантовой механике это
обычное обозначение.)
Рассмотрим перестановки Р набора из п индексов р. Например,
Pi* | Ч-- .&> = Ф/ (2) фу (1).. -ф* (я) - | /t- • •&>• (П3.1)
Множество всех таких перестановок образует группу перестановок if п (гл.
17). Из равенства (П3.1) следует, что векторное пространство L
всевозможных произведений вида | ij.. .ky будет инвариантно относительно
действия группы if п. В самом деле, перестановки коммутируют с
преобразованиями из группы Ъ, и множество L порождает базис представления
W произведения групп %y.ifn. Если обозначить неприводимые представления
групп Ъ, ifп и 'Sy.if" через Т<*>, и T(v>(r) Vм, то разложение
представления W можно записать в виде
W=2mv,J<v>(r)V<4 (П3.2)
V* ^
Поэтому можно выбрать базис пространства L, в котором базисные векторы
несут индексы у и X, соответствующие трансформационным свойствам этих
векторов по отношению к обеим группам % и ifn. Если обозначить
произвольные элементы групп Ъ, ifn и "Sxifп через Ga, Р и GaP, то на
основании формулы (4.66) соотношение между характерами, соответствующее
разложению (П3.2), можно записать в виде
X (GaP) = 2 "тлХ(tm) (GJ %<*> (Р). (ПЗ.З)
V. А,
В действительности нам часто будет нужно лишь одно из подпространств,
входящих в разложение ? =
где L*,-подпространство, содержащее все базисные векторы пространства L,
которые преобразуются по определенному неприводимому представлению V(X>
группы ifп. На таком пространстве L\ действует представление Тд,
362________________________ Приложение 3
группы %, которое, согласно формуле (П3.2), разлагается на неприводимые
представления группы
т*=2/п*тм.
v
Следовательно, его характер дается выражением
хл(ов) =2"va(v)(Ga)-
v
Пользуясь соотношением ортогональности характеров группы <!?п [формула
(4.25а)], этот характер можно найти также из равенства (ПЗ.З):
ые(еаР), (пз-4)
т р
где суммирование идет по всем til перестановкам Р группы <?Рп. Таким
образом, чтобы найти характер нужно сначала вычислить характер %(GaP), а
затем воспользоваться равенством (П3.4), подставляя в него характеры из
таблицы характеров группы перестановок. Если характер найден, то целые
числа mv?- находятся из обычного соотношения ортогональности характеров
группы <§:
m*"j?x<"*(GJXjl(GJ, (П3.5)
а
где g-число элементов группы
Характер % (GaP) мы вычислим лишь для нескольких довольно простых
перестановок, а вывод общей формулы отложим до конца данного параграфа.
Рассмотрим сначала тождественную перестановку Р = Е. По определению
характера имеем
Х(ед= 2 *|T(Ge)|//...*> =
I, /" . •k
= 2 T\?>(Ga)T<?(Ga)...nV(Ge) =
i, i k
= {2 TW (GJу = {*<"> (GJ. (ПЗ.6)
Значит, характер %(GeE) выражается через известные характеры неприводимых
представлений группы ?. Аналогично для перестановки Р12 мы, пользуясь
равенством
Дополнительные сведения по теории представлений 363
(П3.1), получаем
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed