Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 124

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 138 >> Следующая

X(GaPia)= 2 <*/...&|T(Ge)|/t ... ?>=*
i. i k
= . 2 Tf (Ge) T<V (Ga) ... Tjg>(Ga) -
it Jt • • • " k
= . %rT\r(G%) ...ПТ(Оа) =
= X(a)(G2a)U<a)(Ga)}"-2. (
(П3.7)
Это выражение снова содержит лишь характеры неприводимых представлений,
так как Ga-это просто другой элемент группы Для более сложной
перестановки трех
подобные рассуждения приводят к следующему выражению:
Теперь мы в состоянии вычислить все характеры 5U(Ga), например при п = 2
и п = 3. При п = 2 имеются лишь два элемента группы Е и Р12 и лишь два
неприводимых представления, соответствующих симметричному и
антисимметричному базисным векторам. Взяв характеры из табл. 4.5, на
основании формул (П3.4)-(П3.7) получаем
Характеры для п - 3 мы можем взять из табл. 4.2, так как группы с^з и D3
изоморфны (гл. 2, § 3). Имеются три класса сопряженных элементов: Е; Р12,
р23, Р31;
; и три неприводимых представления,
которые обычно называются: 1) полностью симметричным, 2) полностью
антисимметричным и 3) представлением со смешанной симметрией (оно
двумерно). В этом случае
обозначениях примера 10 гл. 2, § 2)
I
(GflG 3 i))=z<a> (GS)Wa} (G*"n~3- (ПЗ-8>
XcHMM(GJ = y [{*<"> (Ga)}* + x"*> (G*)],
, (П3.9)
Хантисимм (Ge) = i- [{X(a,(Ga)}2-X(a)(G2)].
364
Приложение 3
мы аналогично предыдущему получаем
ЗСсимм (Ge) [{x<e>((c)e)}* + 3X<e>(G*) X<">(Ga) +
+ 2%<">(G")];
Хантясимм (Ge) = j [{X<a)(Ga)}3-3X<")(G2a) X<a)(Ga) +
+ 2 X(a>(GS)], (П3.10)
Хсмеш (Ge) = 4 [2 {x(a) (Ge) }3 2%(a) (G(r))].
Заметим, что нам не потребовался конкретный вид группы Ъ, хотя, конечно,
для получения численных выражений нужны значения характеров %<а)
неприводимых представлений группы #.
Исходя из того что любую перестановку можно представить в виде
произведения циклов разной длины (гл. 17, § 1), нетрудно вывести общую
формулу для характеров Х((c)вР). Если перестановка Р содержит п1 циклов
длиной 1, пг циклов длиной 2 и т. д., то, действуя аналогично
рассмотренным выше случаям несложных перестановок, находим
x(GaP)=n{x(a)(G')}n'. (П3.11)
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОДГРУППЫ
В гл. 4, § 17 было показано, как произведение двух представлений группы $
разлагается на неприводимые составляющие. В частности, целочисленные
коэффициенты ту в разложении [формула (4.44)]
T(a)0T(P) = 2mvT(V)
V
вычислялись по формуле (4.45) на основании таблицы характеров. Эти
коэффициенты можно найти и другим способом, если известны соответствующие
коэффициенты для подгруппы Ж группы Неприводимые представления группы Ж
обозначим через Т(">, Т(Р> и т. д. Предположим,
Дополнительные сведения по теории представлений 365
что известны коэффициенты т~р в разложении
Т<"> 0 Т<?> = S mf (ПЗ. 12)
v
Предположим также, что известны коэффициенты я -в разложении (4.49)
ограничения представления Т(а) с группы % на ее подгруппу Ж\
а
Комбинируя эти три соотношения, получаем
Т<"> 0Т"Э) = па~п^ Т<">0Т<ё> -а, В, V
(пз.13)
а, р, v
Кроме того,
K")0T"W (П3.14)
v ^
Поэтому, приравнивая выражения (П3.13) и (П3.14), мы при любом у получаем
соотношение
S rtaSrtppm|5 = ^mv"vf (П3.15)
а, р 7 v
Здесь неизвестны лишь коэффициенты гщ, и во многих случаях эта система
уравнений позволяет их вычислять.
В качестве иллюстрации рассмотрим тот же пример, что и в гл. 4, § 17, а
именно произведение представлений Т(3,(r)Т(3) группы D3. Теперь мы
воспользуемся подгруппой С3 (гл. 4, § 18). Тогда выражение (П3.13) примет
вид Т13) 0 Т(8> = (т(2(r)т(3))0(т<2>0т<3)) = 2т(1)(r)т<2)(r)т<8) . Сравнив это
разложение с известными разложениями Тй) = т(а)0тт, T<i> = Т<2> = т(1>
(гл. 4, § 18), мы приходим к заключению, что Т<8)(r) Т(8) =
Т<3)0т1Т(1)0таТ(2', где тл -f-m2 = 2. Этот пример показывает также
недостаток метода: метод не всегда дает полное"* решение.(r) В'этом примере
он не позволяет доказать, что " т, ¦- 1. Можно
366
Приложение 3
доказать лишь, что m1-fm2 = 2. Тем не менее данный метод очень удобен в
случае непрерывных групп, когда с характерами большой группы % труднее
работать, чем с характерами подгруппы Ж.
§ 3. УМНОЖЕНИЕ КЛАССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Методы, которыми мы находили неприводимые характеры в гл. 4, § 15, были
вполне пригодны в случае групп с малым числом классов сопряженных
элементов. В данном параграфе мы выведем дополнительные соотношения между
характерами, которые позволяют определить характеры любой конечной
группы. Введем сначала сумму по всем элементам группы из класса
сопряженных элементов Мы обозначим ее тем же символом ё',-:
?,'= 2 Ga (П3.16)
°а из
и назовем оператором класса сопряженнных элементов. Докажем, что в
произведение двух таких сумм все элементы любого заданного класса
сопряженных элементов должны входить одинаковое число раз, т. е.
2 GaG 6=2с,Л- (П3.17)
Ga из <g{ k
Gb из
В самом деле, представим произведение в виде
%i%f = nltGb + ncGc+..., (П3.18)
где Gb и Gc-два элемента из одного класса сопряженных элементов Для
любого элемента Ga мы имеем
G^-G-1^/. (П3.19)
так как для любого элемента G из класса сопряженных элементов %,¦ элемент
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed