Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
GaGGa' тоже лежит в классе и в случае разных G эти элементы различны.
Следовательно,
Ъ$} - GtftGfGJgjG? = Ga4o $ fG а1 =
= "(.G^G-1 +ncGaGcG~1 + ... . (П3.20)
Выбирая теперь такой элемент Ga, для которого GaG6Ga1 = Gc, и сравнивая
выражения (ПЗ.20) и (П3.18),
Дополнительные сведения по теории представлений 36?
видим, что пь = пс. Тем самым соотношение (ПЗ. 17) доказано.
Выберем теперь какое-либо неприводимое представление Т(а) группы 5? и
определим сумму матриц
Т((а)= 2 T<">(Ge). (П3.21)
Ga из %i
Если равенство (П3.19) записать в виде Ga#,-==lo,-Ga, то в матричном
представлении Т(а) будем иметь =T(")f(") (Ga). Так как это равенство
справедливо для всех элементов Ga группы по первой лемме Шура оператор
должен быть пропорционален единичной матрице: T<?> = ^f> 1.
Сравнивая теперь следы матриц в обеих частях равенства (П3.21), получаем
sa^a) = c;x("), т. е.
= ^ x'-a)l, (П3.22)
а
где с,--число элементов в классе сопряженных элементов %>!. Записав
равенство (П3.17) в матричном виде, получаем
Па)т }а) = 2^Па)-
k
Подставляя сюда выражение (П3.22), приходим к соотношению между
характерами
CiCjtfh^ = Sa 2 cijkck^ka). (ПЗ. 23)
k
Заметим, что коэффициенты cijk, фигурирующие в соотношении (П3.23),
находятся из таблицы умножения группы с помощью соотношения (П3.17).
Таким образом, мы вывели систему уравнений (П3.23) (для всех индексов i и
/), которая позволяет вычислять характеры.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ГРУППЕ яа
В первых двух параграфах этого приложения (§1 и 2) выводятся некоторые
полезные формулы для сферических гармоник, прямо следующие из изложенного
нами в гл. 7 для группы Ма. В § 3 сначала рассматривается общий случай
интегрирования на группе, а затем выводятся выражения для соответствующих
весовых функций в интегралах на группе 51,.
§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
На основании теоремы Вигнера-Эккарта можно взять один полезный интеграл.
Рассматривая функцию У^ (0, ф) как оператор, входящий в формулу (7.53),
получаем
2Я Я
$ $ Ут* (0. ф) У ml (0. ф) У ml (0. ф) Sin 0 dQ С?ф =
Ф=0 0 = 0
= C{lJtl, тхт%т) </ Ц Y<z">|| /2>. (П4.1)
(Мы воспользовались тем, что группа 51, просто приводима и поэтому индекс
t не нужен, а также тем, что коэффициенты Клебша-Гордана действительны.)
Равенство (П4.1) с учетом формулы (7.50) можно использовать для
разложения произведения уЩуЩ, рассматриваемого как единая функция, в виде
(7.49):
У&1(в, Ф)Г^(0, Ф) =
= 2C(W, m^m) < Я?<'">!/,> У# (0, ф). (П4.2)
1т
Некоторые формулы, относящиеся к группе
369
Чтобы найти приведенный матричный элемент, обратим сначала равенство
(П4.2), основываясь на ортогональности коэффициентов Клебша-Гордана (гл.
7, § 17):
</|Y<''>||/a>yJS?(0, ф).
= 2 тхт2т) У^ (0, Ф)У<?>(0, ф). (П4.3)
mitnt
Затем, поскольку приведенный матричный элемент <1 |У^1>|22> не зависит от
углов 0 и <р, мы можем подставить в выражение (П4.3) любые удобные нам
значения этих переменных. При 0 = 0 сферические гармоники становятся
независимыми от переменной Ф:
У# (0, <p) = 6m,0 Л(СО3 0)" Y'* 6Я. 0,
(П4.4)
так что
С{Ш, ООО). (П4.5) Окончательно интеграл (П4.1) дается выражением
2Я Я
J J Ут' (0, ф) У(тг (0. ф) У^ (0, Ф) Sin 0 d0 dcp =
ф = 00 = 0
= ((2/l+^21fI1)1/l С(Ш, ООО) С {1ХЦ, тхт2т). (П4.6)
Отметим, что этот интеграл равен нулю, если величины 1Х, /а и / не
удовлетворяют условию треугольника (гл. 7, § 4, п. Г), а также если сумма
/i*Ha*H-нечетное число.
§ 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Рассмотрим произведение двух сферических гармоник, зависящих от координат
двух частиц, У"(01>ф1) У^' (0а,фа). Образовав сумму таких произведений с
1Х~12, можно (гл. 4, § 17 и гл. 7, § 4, п. Г) на основании формулы (4.46)
получить инвариант, поскольку в формуле (7.44) возможно значение / = 0. С
учетом того что инвариантность относительно подгруппы 5?.а влечет условие
тх-{-т2 = 0, этот инвариант записывается следующим образом:
А0) = 2С(/1/10, тх-тх0)У[^фх, фЛУ'-тЛ(c)*, Ф2). (П4.7)
mt
3?0
Приложение 4
Заметим, что, хотя величина /{/^инвариантна относительно вращений
системы, она зависит от взаимного расположения двух частиц. Как мы сейчас
покажем, функция Д0) есть полином Лежандра, зависящий от угла 012 между
радиус-векторами частиц. В самом деле, поскольку величина Д0) инвариантна
относительно вращений, мы можем путем подходящего поворота добиться того,
чтобы частица 1 находилась на оси г. В этом положении 0j = 0, 02 = 012, и
на основании формулы (П4.4) выражение (П4.7) приводится к виду
0, 000)(?Щ)1/а Ph (cos012),
если учесть, что при т = 0 сферические гармоники сводятся к полиномам
Лежандра. Коэффициенты Клебша - Гордана в формуле (П4.7) имеют простой
вид (задача 7.14): С(/1/10, т1-m10) = (-l)/'-m'/(2/1-l- I)1/". В
результате выражение (П4.7) принимает вид
<Pi) K-m(0*, ф2)=(?Ш)/>Лсоз012).
т ' '
(П4.8)
Эта формула известна под названием теоремы сложения для сферических
гармоник и применяется, например, при анализе потенциала взаимодействия
