Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующее значение энергии равно
?= <Н> = - (2/ I)-2 (19.21)
306
Глава 19
и этот уровень (2/+ 1)2-кратно вырожден. В обычном изложении теории атома
водорода принято, конечно, для обозначения энергетических уровней
пользоваться целым числом п = (2/' + 1). Значения / = 0, 7а, 1, 3/2> ...
соответствуют значениям п= 1, 2, 3, 4, . . ., и формула (19.21) сводится
к более привычному выражению Е = - п~2 (в единицах энергии, введенных в
начале § 4).
Чтобы определить, какие значения углового момента I соответствуют каждому
уровню энергии, нам понадобится формула разложения представления
группы 5?4 на
неприводимые при редукции на подгруппу физических вращений Я3\
DW)=aSc*D(,)* (19.22)
i
Заметим, что физическим вращениям соответствует оператор X = F + G.
Поэтому задача отыскания ненулевых коэффициентов ряда (19.22) сводится к
задаче векторного сложения двух угловых моментов: / = j + j (гл. 7, § 4,
п. Г). Из формулы (7.44) следует, что/== 0, 1,2, . . ., 2/( = л -1); это
известный результат теории атома водорода.
Относительно положительных энергий заметим, что, как мы видели в гл. 15,
§ 2, п. Д, группа Лоренца не имеет конечномерных унитарных представлений.
Это согласуется с тем хорошо известным фактом, что положительным энергиям
соответствует континуум состояний.
Методом, которым в § 2 было в случае группы симметрии U3 осуществлено
обобщение на многочастичные системы, можно воспользоваться также и в
случае куло-новского потенциала и группы симметрии Us. Но такое
обобщение, по-видимому, не дает ничего существенного ни в одной из
известных физических проблем.
ЛИТЕРАТУРА
Симметриям осцилляторного и кулоновского потенциалов в одночастичном
случае посвящена работа:
1. Jauch J. М., Hill Е. L., Phys. Rev., 57, 641 (1940).
Обзор по вопросам использования симметрии гармонического осциллятора в
многочастичных задачах ядерной физики дан в работе:
2. Harvey М., Advances in Nuclear Physics, vol. 1, Plenum Press, New
York, 1968.
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 307
Работы более позднего времени по симметрии кулоновской задачи
рассматриваются в книге:
3. Englefield. А4. J., Group Theory and Coulomb Problem, Wiley-
Interscience, New York, 1972.
ЗАДАЧИ
19.1. Покажите, что функция, удовлетворяющая условиям а^тр0 = 0, где а4-
операторы, определенные формулой (19.2), имеет вид ф0 = А ехр (- V2r2).
19.2. Докажите, что (как говорилось в § 1) при ограничении на подгруппу
полностью симметричное представление [А] группы SU3 разлагается в
сумму неприводимых представлений D<P, где / = А/, N-2, N - 4, ..., 1 или
0. (Воспользуйтесь методом задачи 18.5, рассмотрев симметризованные
произведения множителей, для каждого из которых т= 1,0 или -1. Затем
покажите, что имеются: только одно произведение с = Y или У]т = П - 1,
два произведения с ^т - N-2 и >Jm = lV-3, три произведения с jV-4 и N- 5
и т. д.
20
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (ОТДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ)
В предыдущих главах мы последовательно изложили теорию симметрии и ее
приложения к широкому кругу физических систем. Но остался ряд вопросов,
которые, хотя они имеют прямое отношение к изложенным темам, мы в свое
время опустили, чтобы не отвлекать читателей от основной линии изложения.
Теперь мы остановимся на некоторых из них. Большинство этих тем никак не
связано между собой; поэтому все параграфы данной главы вполне
самостоятельны, а порядок следования тем произволен. Материал первых двух
параграфов имеет прямое отношение к физике, а в остальных речь идет о
математических проблемах.
§ 1. НЕИНВАРИАНТНЫЕ ГРУППЫ
До сих пор мы говорили исключительно о группах симметрии которые по
определению не изменяют гамильтониана. Теперь рассмотрим некоторые
группы, не обладающие таким свойством, но представляющие известный
интерес. Это группы, которые называются неинвариантными или
динамическими. Их значение состоит в том, что они сводят в одно
представление собственные функции, соответствующие разным энергиям, так
что спектр и вероятности перехода могут быть выражены через операторы
группы. Поэтому такие динамические величины могут быть вычислены на
основе теории групп. Приложения подобного рода пока что ограничиваются
простыми системами.
В качестве иллюстрации рассмотрим одномерный гармонический осциллятор.
Используя обозначения гл. 19,
§ 1, его гамильтониан можно записать в виде
Н=у (х*-dW) = ata + y , (20.1)
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 309
а уровни энергии, как хорошо известно, даются значениями п + 1/2 (в
единицах fun), где п = 0, 1, 2, ... . Построим теперь три эрмитовых
оператора
K1=4(a* + at2), К2 = 1 1(а2-аП K3 = i-H. (20.2)
С помощью перестановочных соотношений (19.3) находим
[Klf К2] = - ?К3, [К3, K1] = iK?, [К3, К2] =- tKj. (20.3)
Нетрудно видеть, что соотношения (20.3) в точности совпадают с
перестановочными соотношениями группы Лоренца 33 в трех измерениях. Такая
группа может быть построена исключением одной пространственной переменной
