Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
/ 0 - а, ау сх\
/ а2 0 - ах с.. \
М" ах 0 с, М("А+*)' (19.18)
\ У * г I q
\-сх -су - сг О/
Соотношением (19.18) определяются шесть независимых инфинитезимальных
операторов Х?, Zq. Обозначения Хя совпадают с обозначениями,
использованными в гл. 7, § 4, п. А для группы М3, отражая тот факт, что
при сд - 0 мы приходим к подгруппе М3 группы 3?4. Перестановочные
соотношения для инфинитезимальных операторов (19.18) следуют из их
определения:
[Хх, Ху] = Хг и т. д.
[Х*> zj = 0, [X*, Zy] = Z2, [Х" Z,l = -Zу и т. д., (19.19)
[Z*> Zy] = *z И Т. д.
(остальные коммутаторы получаются путем циклической перестановки
индексов). Как показывает сравнение с формулами (19.16) и (19.17а),
операторы X и Z удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и
ин-финитезимальные операторы симметрии -t'L и -ik.'.
Итак, на уровне инфинитезимальных операторов мы можем отождествить группу
симметрии для связанных состояний нашей системы с группой 3?4. Чтобы
показать, что и конечные операторы симметрии можно привести во взаимно-
однозначное соответствие с элементами группы
304
Глава 19
9li (установить изоморфизм групп), необходимо более детальное изучение
области изменения параметров. (5?4-инвариантность гамильтониана Н можно
доказать, отобразив вектор импульса р в точку, лежащую на единичной сфере
в четырехмерном пространстве, с координатами
I = 2р0рх/(р1 + р*), ц = 2РоРу/(р1+Р*),
I = 2PoPj(pl + Р2), 1 = {Pl-P2)!{pt + Р2)>
где р0 = (-Е)~Чг. Если уравнение Шредингера записать как интегральное
уравнение в импульсном пространстве, то оно будет инвариантным по
отношению к вращениям в четырехмерном пространстве с координатами |, ц,
?,%•) Для состояний с положительной энергией удобнее ввести вместо
оператора А' оператор A" = (H)-1/'A. Оператор А" эрмитов, а
перестановочные соотношения (19.17а) принимают для него вид
[K,A'y] = - iLz и т. д. (19.176)
Перестановочные соотношения между инфинитезималь-ными операторами
симметрии - 1L и - tA" теперь отличаются от перестановочных соотношений
(19.19) для группы 5?4. Но они совпадают с перестановочными соотношениями
для группы Лоренца . Это и понятно, поскольку группа Лоренца является
четырехмерной группой вращений для метрики с измененным знаком одного из
слагаемых-в нашем случае это соответствует изменению знака Н.
Б.JКлассификация состояний в кулоновском потенциале
?Из общей теории следует, что, имея в своем распоряжении группу
симметрии, мы можем классифицировать уровни энергии по неприводимым
представлениям этой группы. Таким образом, мы приходим к задаче
классификации неприводимых представлений группы 5?4. Эта задача решается
очень просто, нужно лишь воспользоваться наличием локального изоморфизма
между группами Э?4 и х В самом деле, введем новые инфинитезимальные
операторы F и G: F = V2(X + Z), G = 72(X-Z), что эквивалентно переходу в
формуле (19.18) к параметрам (а + с) и (а -с). Тогда в силу соотношений
(19.19)
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 305
имеем
[F*. F*] = F" [Gx, G"] = G, и т. д. (19.20)
Коммутаторы же операторов F с операторами G равны нулю. Это означает, что
операторы F и G по отдельности удовлетворяют тем же перестановочным
соотношениям, что и операторы X, и, следовательно, задают две группы Ms.
Поскольку операторы F и G коммутируют между собой, вместе они задают
группу М3хМ3. Таким образом, мы установили изоморфизм групп М4 и М3хМ3 на
уровне инфинитезимальных операторов. Поэтому, зная, что представления
группы М3, обозначаемые через D^'', определяются индексом / = 0, 1/2, 1,
3/2, ...,мы можем заключить, что неприводимые представления группы Э?4
нумеруются парами индексов j1j2 (относительно представлений прямого
произведения групп см. гл. 4, § 21). Таким образом, неприводимые
представления группы М4 обозначаются через D('i* ь>, где индексы уф и /а
относятся к двум 5?3-подгруппам. Операторы (F-F) и (G-G)-это операторы
Казимира с собственными значениями - /\ (/\+1) и -/а (/а + 1) (гл- 7, §
5). Размерность представления D</i./.) равна (2/х + 1) (2/а + 1).
При изучении в § 1 гармонического осциллятора мы видели, что в
одночастичном случае могут быть реализованы лишь некоторые из
представлений группы SU3. Подобная ситуация возникает и в кулоновской
задаче. Причиной такого ограничения возможных типов представлений
является равенство ( A'-L) = (L-A') = 0, которое после алгебраических
выкладок получается из определений операторов А' и L. Это равенство
приводит к тому, что операторы Казимира, построенные из операторов - V2i
(L ± А'), соответствующих операторам F и G, совпадают с оператором-V4
{(L-L)H-(A'-A')}. Следовательно, единственно возможными представлениями
являются представления
с /i = /2. т. е. представления DW>, где / = 0, V2, 1, 73...
Дальнейшие вычисления показывают, что операторы Казимира можно привести к
еще более простому виду:
(F.F) = (G.G) = -74{(L-L)-f-(A'.A')} = 74(l+H-1).
В представлении DW) этот оператор равен -/'(/ + 1), так что
