Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 2" -> 113

Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 2 — М.: Мир, 2001. — 414 c.
Скачать (прямая ссылка): simmetriyavfiziket22001.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 138 >> Следующая

называется нормальной (или инвариантной, или самосопряженной) подгруппой
группы Группа Ус называется фактор-группой группы % по отношению к группе
Ж, и эту связь часто выражают формулой УС = $/Ж. Если обозначить через g,
h я k порядок (число элементов) групп Ж я УС, то очевидно, что g = hk,
причем k называют индексом нормальной группы Ж в группе Ъ.
Примером полупрямых произведений среди конечных групп может служить
группа тетраэдра (гл. 9, § 3), которую можно записать в виде T = D/\C3, а
также более простая группа D4 -С4ДС2. Чтобы убедиться в этом,
322
Глава 20
нужно внимательно просмотреть элементы группы Т (или DJ и таблицу
умножения для них. Пространственные группы, рассмотренные в гл. 14, § 9,
образованные путем объединения группы дискретных трансляций ST с точечной
группой $, являются полупрямыми произведениями STД$, причем трансляции в
силу формулы (14.72) образуют нормальную подгруппу. Аналогичным образом
группа Евклида (гл. 15, § 1) может быть записана в виде <§з = ^гзЛ5?з, а
группа Пуанкаре (гл. 15, § 4) - в виде ZP - где --группа трансляций в
трехмерном
пространстве, a <#~4- в пространстве-времени.
Посмотрим теперь, каким образом знание структуры группы как полупрямого
произведения помогает найти ее неприводимые представления. Для простоты
ограничимся случаем, когда нормальная подгруппа Ж абелева (обобщение
будет очевидно); все неприводимые представления такой группы одномерны и
обозначаются через Т(Л>.
Поскольку Ж есть подгруппа группы базисные
векторы неприводимого представления Т группы $ можно
выбрать так, что они будут принадлежать определенным неприводимым
представлениям группы Ж. Обозначая такие векторы символом |Я>, для любого
элемента Н группы Ж имеем
Т(Н)|7> = Т(М(Н)|7>. (20.19)
Возьмем какой-то определенный набор векторов |А> и, используя элементы Кд
группы Ж, образуем из них новый набор векторов |Ха>:
|ta> = T(Ke)|>>. (20.20)
Каждый такой новый вектор должен принадлежать одному из представлений
группы Ж, поскольку из соотношений (20.18)-(20.20) следует равенство
Т (Н) | Аа> = Т (Н) Т (К J Я> = Т (Кд) Т (Н')] Ь> = Т(tm) (Н') 17а>,
(20.21)
где Н^КдЧЧКд. Заметим, однако, что представление группы Ж, определенное
этим соотношением, не обязательно будет представлением Т(Я>, так как
соотношение (20.21) связывает элемент Н с матричным элементом Т<я> (Н')
другого элемента Н'. Поэтому мы обозначим такое представление группы Ж
символом Т<яя>. Рассмотрим прежде всего
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 323
простейший случай, когда все представления Т(Яи), возникающие при
пробегании элементом Ga всей группы ЭС, не эквивалентны. В этом случае
векторы j /,а> должны быть линейно-независимыми и образуют базис й-
мерного неприводимого представления группы Явный вид представления
нетрудно найти, действуя на вектор | Ха} общим элементом группы G = HK:
Т (НК) | lay = Т (Н) Т (К) Т (К ,)| Я,) = Т (Н) Т (Кь) | А> =
= Т (Кь) Т (Н') I А> = Т<я> (Н') I хьу. (20.22)
Здесь введены обозначения Кь = КК0 и Н' = К"^НК6. Таким образом, все
матричные элементы оператора Т (НК) равны нулю, кроме тех значений Т<Л>
(Н'), которые связывают строки а с соответствующими столбцами Ь. Эти
значения находятся по неприводимым представлениям Т<я> подгруппы Ж.
В том случае, когда какие-либо представления Т<Яй> эквивалентны
представлениям Т(Я>, необходимы некоторые изменения. Обозначим при данном
X через Ка набор элементов 5^, для которого имеет место указанная
эквивалентность. Покажем теперь, что этот набор образует подгруппу группы
ЭС, которую мы обозначим через дС. Ее называют обычно малой группой по
отношению к Ж и X. Мы не будем доказывать выполнение всех групповых
постулатов для набора Ка • ограничимся лишь законом умножения. Пусть Ка и
Кь принадлежат данному набору, так что
ТО (K-1HKJ = STO (H)S"\
ТО (КГ "HKj) = RTO (H)R-1,
где S и R-некоторые фиксированные элементы, не зависящие от Н. Тогда для
произведения Кь Ка имеем
то (к^кГнкДя = ТО (ka-1H'kfl) =
=STO (Н') S_1 = SRTO (Н) R-iS-1,
где, как и ранее, H^K^HKj,. Таким образом, закон группового умножения
выполняется. Следовательно, набор векторов |Яа>, преобразующихся при
данном X эквивалентно, должен образовывать инвариантное пространство по
отношению к малой группе Поэтому мы можем вы-
324
Глава 20
брать эти векторы так, чтобы они преобразовывались согласно определенному
представлению Т("> группы Ж. Тогда базисные векторы будут
характеризоваться одновременно индексами к и а, а также номером строки i,
если размерность представления Т<а> больше единицы. Для построения
неприводимых представлений группы И начнем с одного из таких наборов
векторов |Яа(> с фиксированными значениями к и а. Общее свойство любой
группы Ж порядка k состоит в том, что если задана подгруппа Ж порядка к,
то любой элемент группы Ж можно записать в виде К = МСК, где Мс-один из
k/k элементов группы Ж (теорема Лагранжа, см. задачу 2.4). В силу этого
представление Т группы % может быть построено действием набора k/k
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed