Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
[21] и [111] группы 77з, так, как предлагается в § 2, пример 4.
18.2. Методом, изложенным в § 4, установите нумерацию базисных векторов
следующих представлений: а) [3] группы Us\ б) [21] группы (У4.
18.3. Разложите прямое произведение [31] @[2] представлений группы U3.
Покажите, как упрощается этот результат, если вместо группы U3
использовать: а) группу S(i3 [введите обозначение (к, р,)]; б) группу
SU2.
18.4. Вычислите веса базисных векторов для представления из части "а"
задачи 2. Покажите, что в этом случае разложение (18.24) имеет вид U[3) =
D(3> 0 D(1).
18.5. Найдите значения углового момента L для полностью антисимметричных
состояний двух и трех d-частиц. (Существует лишь одно антисимметричное
состояние при каждой комбинации разных значений т проекций угловых
моментов частиц. Найдите число независимых состояний при каждом значении
Л4=2т и вычислите возможные значения углового момента L.)
18.6. Разложите произведения [1](r)[1], [1](r)[П] и[1](r)[2] представлений
группы U5. Затем, зная разложение произведения представлений (7.44) для
группы Э{3 и зная ответы предыдущей задачи, вычислите путем вычитания
угловой момент L для представлений [2], [3] и [21] двух и трех d-частиц.
18.7. Следуя методам задач 5 и 6, перечислите возможные комбинации
значений величин J и Т для трех нуклонов, находящихся на оболочке с / =
5/г.
18.8. Покажите, что существует взаимно-однозначное соответствие между
параметрами к, а из соотношений (18.33), причем 0 < а < 2я, а к-единичный
вектор, и двумя комплексными параметрами а, р, удовлетворяющими условию
аа*+РР*=1.
19
ПОТЕНЦИАЛ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА И КУЛОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ -ДВА ПРИМЕРА
"СЛУЧАЙНОГО" ВЫРОЖДЕНИЯ
При анализе роли симметрии в квантовой механике центральное место
занимало вырождение энергетических спектров как следствие наличия группы
симметрии у гамильтониана, описывающего исследуемую систему. Но, как
говорилось в гл. 5, § 3, полностью объяснить вырождение можно лишь на
основе полной группы симметрии системы. Всегда может оказаться, что
вырождение возникло случайно или привнесено искусственно. Например,
изменяя какой-либо числовой параметр гамильтониана, можно добиться, чтобы
два уровня энергии слились в один. Такое вырождение обычно называют
случайным. Если же "случайное" вырождение проявляется систематически, т.
е. затрагивает не один, а много уровней, то, как правило, это указывает
на то, что вырождение не случайное, но обусловлено не известным нам
преобразованием, относительно которого инвариантна система. Эта новая
симметрия расширяет ранее известную группу симметрии системы. В такой
ситуации термином "случайное" вырождение, строго говоря, не следовало бы
пользоваться. В данной главе мы рассмотрим два примера [1J такого
"случайного" вырождения, которое в свете сказанного не случайно, а
обязано своим происхождением наличию более широкой, чем кажется на первый
взгляд, группы симметрии системы. Оба примера относятся к движению одной
частицы в сферически-симметричном потенциале, а потому должно быть
обычное (21 -j- 1)-кратное вырождение, обусловленное сферической
симметрией системы (гл. 7, § 5; гл. 8, § 1). В случае потенциалов V (г)
общего вида этим исчерпывается все вырождение, имеющееся в системе. Но в
двух частных случаях, когда У(г)~г2 и когда V (г) ~ г-1, решения
уравнения Шредингера обнаруживают дополнительное проявляющееся системати-
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 291
чески вырождение. Эти два случая, хорошо известные как потенциал
гармонического осциллятора и кулоновский потенциал, играют в физике
важную роль. Потенциалом гармонического осциллятора описывают малые
отклонения системы от положения равновесия; кроме того, он используется
как первое приближение при описании движения нуклонов в ядре относительно
центра масс ядра. Кулоновский потенциал применяется для описания движения
электрона в атоме водорода. Мы увидим, что для гармонического осциллятора
группой симметрии является группа Uз, а для атома водорода-группа 5i4.
Обе эти группы содержат в качестве подгруппы группу вращений 5*3. Обобщив
полученные результаты, мы покажем, что группой симметрии "-мерного
гармонического осциллятора является группа Uп.
§ 1. ТРЕХМЕРНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР, ОДНОЧАСТИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Потенциал гармонического осциллятора принято записывать в виде V (г) =
Vjj УИсо2г2, где со/2л - классическая частота колебаний частицы с массой
М. В квантовой механике нам нужно решать уравнение Шредингера
^-h2V2/2MJr y/Mco2r2j ф (г, 0, ф) = ?ф(г, 0, ср).
Для удобства будем измерять энергию в единицах fuo, а длину - в единицах
b - (Д/Мсо2)1/*; величину b назовем параметром длины осциллятора. В этих
единицах уравнение Шредингера принимает вид х/2(-V2 + г2) ф = а
гамильтониан дается выражением
H = i(-V2-f г2). (19.1)
Гамильтониан (19.1), очевидно, сферически-симметрн-чен, что находит
выражение в перестановочных соотношениях [Н, Ц] = 0, где q - x, у, z, a
