Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
виду
(eos-Jj-a - ikzsm^ra (-k.. - ikx) sin-^aX 2 2 .
(ky - ikx)sm-^-a cos a + ikz sin aj
(18.37)
Если мы отождествим параметры вращения к и а с параметрами к и а,
введенными для группы SU2 формулами (18.33), то эта 2х2-матрица совпадает
с матрицей
(18.32). Однако соответствие не является взаимно-однозначным. Все
унитарные матрицы получаются лишь в том случае, когда направление
единичного вектора к может быть произвольно. Тогда угол 72а должен
изменяться в интервале 0^1/2а^я. (Заметим, что не требуется, чтобы угол
72а лежал в интервале между я и 2я, т. е. чтобы угол а лежал в интервале
между 2я и 4я, так как это означает лишь изменение знака ysin72G, что
совпадает с изменением знака у вектора к.) Но для получения всех вращений
достаточно, чтобы угол а изменялся лишь в интервале 0 ^ а ^ я, так как Rk
(я -fa) = R_k (л-а). Поэтому два унитарных преобразования, углы а которых
различаются на я, соответствуют одному и тому же повороту. Можно говорить
лишь о гомоморфизме группы SU2 на группу ,5?3. Это соответствие можно
сделать взаимнооднозначным, если группу Я3 расширить и формально включить
в нее все повороты на углы от 0 до 4я. Такое расширение называют
"универсальной накрывающей группой" .
Заметим, что удвоенная группа, которую мы ввели в гл. 7, § 6 (ее
элементами были вращения Rk(a) и ERk (a),
Унитарная группа Uдг
287
где 0^а<я), изоморфна группе SU2. Соответствие устанавливается следующим
образом: Rk(a)<-"D<'/*)(k, а), ER-k(a)<-*D(1/'4'kt 2я-а).
На примере матрицы (18.37) видно, что полуцелые представления не являются
непрерывными представлениями группы 5?3. При повороте на угол а = 2я
физическая система возвращается в исходное положение, а матрица (18.37)
умножается на -1. В случае накрывающей группы, когда угол а увеличивается
до 4я, матрица (18.37) возвращается к своей исходной величине и
непрерывность восстанавливается. Значит, полуцелые представления
непрерывны как представления группы SU2.
Г. Формула для параметров произведения вращений
(sin-|-c^m = as-^-a
Четыре действительных числа cos 1/2 a, kx sin V2 a, ky sin V2 а и
kzsin1/2a иногда называют параметрами Кэли - Клейна для вращения Rk(a).
Формулы (18.38) для группы Э12 соответствуют соотношению c = a-f-fr для
произведения вращений из группы М2.
Для вычисления угла поворота и направления оси вращения, соответствующего
произведению двух вращений, можно воспользоваться выражением (18.36).
Предположим, что Rm (с) = Rk (a) Ri (b). Тогда из формулы (18.36)
cos y с - cos y a cos yb-k -1 sin у a sin у Ь,
(18.38)
имеем
V
-у 2 < (sin у a cos у&) k-f (sin у 6 cos yfl'l 1 +
288
Глава 18
Приравнивая это выражение выражению (cos х/*с + 2т • •XsinVgC), мы из
двух уравнений находим угол с и ось ш.
Д. Примеры базисных векторов для представлений группы SU2
Введем для произвольного вектора е в двумерном пространстве, где
действует группа SU2, координаты 1, г). Тогда в силу формулы (3.38)
преобразование функций определяется равенством Т(и)ф(?, т]) = ф(|, ц),
причем, учитывая выражения (3.39) и (18.32), имеем
(18.39)
| = а*|-рт), т]=Р*| +атр
Посмотрим, как преобразуются следующие 2/+ 1 функций:
|2Л |2'-Ч |V-Y, •••. (18.40)
Поскольку преобразование (18.39) линейно, это множество функций образует
инвариантное пространство и, следовательно, (2/+1)-мерное представление
группы SU2. В случае унитарного преобразования, соответствующего повороту
на угол а вокруг оси г, параметры а и |3 имеют вид а = ехр(-х/2ш) и р =
0. В этом случае преобразование (18.39) очень простое, а характер
представления, задаваемого множеством функций (18.40), имеет вид
(a*)2/_l_(a*)2/-ia-|- av - ехр (iaj) -{- ехр [ia(j - 1)]+ + ...-fexp(-
iaj). Сравнивая с соответствующим выра-жением(7.42), видим, что наш
характер совпадает с характером неприводимого представления D(7> группы
5?3. Таким образом, мы приходим к выводу, что множество функций (18.40)
образует базис представления D'7> группы SU2. В частности, три функции
|2, и т]2 образуют базис векторного представления D(1>.
ЛИТЕРАТУРА !)
Подробности относительно группы Ufj можно найти в книге Бернера (см.
литературу к гл. 4) или в книге Литлвуда (литература к гл. 17, [4]), а
также в книге:
0 Литература, помеченная звездочкой, добавлена при переводе,- Прим- ред.
Унитарная группа Uдг
289
1*. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.- М.: Наука,
1970.
Более подробное обсуждение приложений к спектроскопии томных структур,
которые рассматривались в § 10, можно найти в работе Джадда (литература к
гл. 8, [3]). Обзор по приложениям к исследованию ядерной структуры дан в
работе:
2. Hecht К. Т., Symmetry in Nuclei: Annual reviews of nuclear science,
Annual Reviews Inc., Palo Alto, California, 1973.
Значительно более ранние исследования по применению унитарных групп и их
подгрупп к спектроскопии были проведены Рака. Одно из них изложено в его
работе:
3. Racah О., Ergebn. exakt. Naturw., 37, 28 (1965).
ЗАДАЧИ
18.1. Постройте произведение функций, принадлежащих представлениям [3],
