Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В § 1 мы выбрали в качестве объекта изучения трехмерный гармонический
осциллятор, исходя из того, что он имеет очевидный физический смысл в
реальном трехмерном пространстве. Но с математической точки зрения то,
что число измерений равно трем, не играло существенной роли. С тем же
успехом мы могли бы начать
П П
с операторов у2= 2 d2/dr2q и й= задающих и-мер-0~ 1 ?/= 1
ный осциллятор. Обобщение на n-мерный случай проводится без
принципиальных трудностей и приводит к заключению, что группой симметрии
и-мерного осциллятора является группа Uп.
В частности, двумерный осциллятор имеет вырожденные уровни,
соответствующие неприводимым представлениям группы SU2, которые, как мы
видели в гл. 18, § 13, совпадают с представлениями группы З?3.
Следовательно, уровни двумерного осциллятора,, энергии кото-
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 301
рых равны А/+1, вырождены соответственно величине углового момента V2N,
т. е. степень вырождения равна 2 1 = N + 1. Пара операторов а? и
а], преобра-
зуется в этом случае по представлению D^2' группы SU2.
§ 4. ГРУППА СИММЕТРИИ КУЛОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
Гамильтониан, описывающий движение частицы с зарядом -ев кулоновеком
потенциале е/r, например электрона в атоме водорода, равен (гл. 8, § 5)
"-&-т-Ь'т-т- 09.13)
Если измерять длину в единицах %21Мег (боровский радиус), а энергию в
единицах ei/2fi2 = Rh, где R - постоянная Ридберга, то гамильтониан
(19.13) принимает вид
H = -(v2 + 7)- (19.14)
Уравнение Шредингера, как обычно, имеет вид Нгр = ,
где ?-энергия, а ф-волновая функция. Хорошо известно, что в случае
гамильтониана (19.14) уровни энергии задаются целыми числами п= 1,2,3,
...; соответствующие энергии равны -п~2, и при данном п угловой момент I
принимает значения 0, 1, 2, 3, ..., (п - 1). Таким образом, имеется более
сильное вырождение, нежели соответствующее сферической симметрии.
Будучи сферически-симметричным, гамильтониан
(19.14) коммутирует с тремя инфинитезимальными операторами Lq группы
5?3. Кроме того, путем алгебраических выкладок можно показать, что
гамильтониан Н коммутирует также с тремя компонентами векторного
оператора
А = у {(vx(rxv)) - ((rXv)Xv)}+r/r. (19.15)
Перейдя к физическим операторам, данное выражение можно переписать в виде
А = - [{(pxL) - (Lxp)}/2M-e2r/r]/e2. Выражение в квадратных скобках
называется вектором Рунге-Ленца. Известно, что в классической задаче
302
Глава 19
о движении в кулоновском потенциале этот вектор является интегралом
движения. Три дополнительных эрмитовых оператора симметрии А? вместе с
операторами 1_ч могут, в принципе, составлять набор инфинитезимальных
операторов некоторой непрерывной группы, содержащей подгруппу . Поэтому
мы рассмотрим перестановочные соотношения между шестью операторами А? и Ц
с целью выяснить, являются ли они соотношениями вида (7.7) и совпадают ли
в нашем случае структурные константы со структурными константами какой-
либо хорошо известной группы Ли.
Поскольку операторы А?--это компоненты вектора, их перестановочные
соотношения с инфинитезимальными операторами вращения имеют вид [(гл. 7,
§ 4, п. Е, а также формула (7.26)]
[lx, AJ = 0, [1Х, Ay] = iA2, [L*, AJ = - t'Ae ит. д. (19.16)
Перестановочные соотношения между операторами А? и АЧ' можно получить из
определения (19.15):
[*Л*"]=(\ш + т)(х?-у?)=-т1.г и т.д. (19.17)
Таким образом, последний коммутатор не записывается в форме (7.7), т. е.
в виде суммы операторов симметрии L, и Ад-. В выражение (19.17) входит
также гамильтониан Н. Но поскольку Н коммутирует с А и L, мы можем
включить множитель - Н в определение этих операторов, положив А' = (-Н)-
9"а, так что
[A;, A;] = tL, и т. д. (19.17а)
Наличие множителя (- Н), а не Н в определении оператора А' оказывается
удобным при рассмотрении связанных состояний, энергии которых
отрицательны. В этом случае оператор А' эрмитов. Но при положительных
энергиях он становится антиэрмитовым. Таким образом, в случае
отрицательных энергий операторы L и А' задают унитарные преобразования
вида ехр {-t(a-L)-t (с - L)}, где а и с-действительные векторные
параметры. Соответствующие шесть инфинитезимальных операторов равны
компонентам векторов -tL и -t'A'. Знак минус введен для того, чтобы
параметры вращения а совпадали с определенными ранее параметрами (гл. 7,
§ 4, п А). Теперь
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 303
мы покажем, что перестановочные соотношения (19.16) и
(19.17) совпадают с перестановочными соотношениями для группы 5$4.
А. Группы 5?4 и 3?
Четырехмерная группа вращений определяется как
множество действительных ортогональных 4 х 4-матриц с определителем,
равным +1. Если R-такая матрица, то мы можем написать R=l+M, где элементы
матрицы М малы в случае, когда матрица R близка к единичной. Условие
ортогональности R +R = 1 приводит при малых М к соотношению М + + М = 0,
т. е. инфинитезимальный оператор М является кососимметричным и может быть
записан в виде
