Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представления (Ар.) группы SUs-такой же, как
298
Глава 19
и набор собственных значений оператора 2Ty, который должен совпадать с
набором собственных значений оператора 2Тг, т. е. со значениями M2-
==1/2(jVa. - Ny). Последние можно найти по диаграммам, подобным
изображенной на рис. 19.1. Зная собственные значения оператора Lz, можно
определить возможные значения величины I. Например, из рис. 19.1 следует,
что в представлении (3 0) оператор 1_г имеет следующие собственные
значения: -3, -1, 1, 3, -2, 0, 2, -1, 1, 0, что приводит
к значениям 1 = 3 и 1=1. В общем случае для представления (N 0) имеем l =
N, N-2, N-4, ..., 1 или 0 - уже знакомый нам набор значений углового
момента / для JV-ro энергетического уровня осциллятора.
§ 2. ТРЕХМЕРНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР,
МНОГОЧАСТИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение одной частицы в
сферически-симметричном осциллятор-ном потенциале. Мы установили, что в
такой системе имеется дополнительное вырождение по сравнению с (21 -f 1)-
кратным вырождением в случае сферически-симметричного потенциала.
Рассмотрим теперь систему частиц, движущихся в потенциале гармонического
осциллятора и взаимодействующих между собой в соответствии с потенциалом
вида 2 V (г,у), который мы считаем ма-
лым возмущением. Такая система аналогична системе электронов в атоме (гл.
8, § 6). В гл. 8 мы пришли к выводу о наличии в многоэлектронном атоме
LS-связи; сейчас же рассматривать спин нет необходимости. С теоретико-
групповой точки зрения тот факт, что система обладает полным угловым
моментом L, означает, что волновая функция системы преобразуется по
представлению D(L) группы при вращениях системы как целого. Величина L
является характеристикой, дополнительной к угловым моментам I отдельных
частиц, задающим поведение волновой функции при вращениях, затрагивающих
координаты отдельной частицы. Гамильтониан, содержащий взаимодействие
вида 2 V (г,у), инвариантен относите/
тельно группы 5?3 вращений системы как целого. Рас-
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 299
смотрим теперь процедуру перехода от одночастичной системы к системе из
многих частиц в случае, когда группой симметрии является группа U3. При
этом мы будем следовать методу, использованному нами для группы yls.
Операторы полного углового момента мы определяли как суммы по частицам.
Точно так же мы можем определить девять полных ?/3-операторов - как
операторы 2 а? (О а?'(О- Они, очевидно, удовлетворяют
i
тем же перестановочным соотношениям, что и одночастичные операторы,
поскольку слагаемые, относящиеся к разным частицам, коммутируют друг с
другом. Поэтому определенные выше операторы соответствуют группе U3
одновременных ^-преобразований, действующих на все частицы. Эта группа
содержит в качестве подгруппы одновременные вращения, которым
соответствует полный угловой момент L. Как и в одночастичном случае, в
качестве девяти инфинитезимальных операторов можно взять оператор Н =
2Щ0> где Н (t)-осцилляторный
I
гамильтониан i-й частицы, оператор полного углового
момента Ц= 2Ц(О и пять компонент квадрупольного 1 (
оператора QJ,2) = 2 Qp} (О- Из общей теории следует, что
i
если возмущающий потенциал 2 V (г,-,) коммутирует
*</
с этими девятью инфинитезимальными операторами, то собственные функции
системы отвечают неприводимым представлениям группы U3. Другими словами,
они задаются величиной N, определяющей невозмущенное значение энергии, и
типом неприводимого представления (Ар) группы SU3. Мы не будем вдаваться
в детальное обсуждение того, какие представления (Ар) возможны при каждом
N. Заметим лишь, что соответствующие рассуждения подобны выводу возможных
значений полного углового момента L в некоторой атомной конфигурации (гл.
8, § 6, п. Г). В многочастичных системах встречаются представления не
только с р = 0, как это имеет место для одной частицы.
Возмущение, инвариантное относительно группы SU3, можно построить из
операторов Казимира, которые по определению инвариантны. Для группы
одновременных
300
Глава 19
"St/з-преобразований оператор Казимира С2, определенный в гл. 11, § 10,
содержит как одночастичный, так и двухчастичный вклад. Через операторы L?
и Q(,2) его можно выра ить следующим образом:
С2 = у (L-L) + |(Q'2>.Q<2>) =
= Т L О- (0 • L (/)) + }? (Q(2) (0 ¦Q<2> (/))• (19.12)
", / i, /
Собственные значения оператора С2 известны: они даются формулой (11.21).
Собственные значения оператора (L-L) равны L(L-j-l). Отсюда можно
получить собственные значения квадрупольного оператора (Q(2)-Q(2)).
Двухчастичная часть этого оператора иногда называется "квадру-польным
взаимодействием" и используется при объяснении деформационных и
вращательных движений в ядрах (см. книгу [2]).
Интересным с общей точки зрения моментом рассмотренного выше
использования группы SU3 является процедура перехода от одночастичной к
многочастичной системе.
§ 3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР В п ИЗМЕРЕНИЯХ
