Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
группы Si/4 сильно нарушена и приближение /'/'-связи дает здесь лучшее
первое приближение (о /'/'-связи в атомах упоминается в гл. 8, § 6, п.
А). В этом случае каждая частица имеет определенный полный угловой момент
/', который включает как спиновую, так и орбитальную составляющие. Кроме
того, она имеет обычный изоспин, равный 72- Ясно, что при рассмотрении п
валентных нуклонов группа U2t+1 заменяется группой U2/+1. При ограничении
с группы U2J+1 на группу 5i3 получаются такие же значения углового
момента J, как и при разложении (18.24). Связь между угловым моментом J и
изоспином Т аналогична связи между величинами L и S в случае атома. Для
заданного представления группы U2J+1 составляющая волновой функции,
отвечающая изоспину, должна обладать симметрией, соответствующей
сопряженному разбиению а, причем Т = 1/2(п1 - п2).
А. Применение подгрупп группы Un
Введение групп U2l+1 и U2j+X в такие задачи, связанные с атомной и
ядерной структурой, до некоторой степени разочаровывает, так как эти
группы не несут какой-либо новой физической информации. Как мы видели,
индексы представления а эквивалентны значениям спина, изоспина или
индексам супермультиплета системы. Но эти группы можно использовать как
первый шаг для определения новой группы, которая зависит от природы
взаимодействия между частицами и поэтому несет полезную физическую
информацию. Рассмотрим, например, три электрона на f-оболочке (/=3)
атома. В разложении (18.24), соответствующем представлению сс - [21],
имеются следующие ненулевые коэффициенты mL\ m1=me=m^=ms = 1, m2 -m3 = mi
= mb~ 2. В отличие от случая, приведенного в табл. 18.2, здесь
встречаются значения углового момента L, для которых mL> 1, т. е.
квантовых чисел S,
272
Глава 18
L, Ms и ML теперь не хватает для определения всех возможных состояний.
Физически эта задача решается в теории возмущений методом диагон ал
изации кулонов-ского взаимодействия путем прямого вычисления. При L = 2,
3, 4 и 5 получается 2х 2-матрица. С теоретикогрупповой точки зрения можно
найти систему нумерации этих пар состояний, если удастся найти новую
группу $, которая является подгруппой группы U2i+х и содержит в качестве
подгруппы группу ?А3 (см. работу [3]). Тогда ограничение с группы U, на
подгруппу &13 можно провести в два этапа: ?/,->&-*-5?3. Таким образом,
базисные векторы (волновые функции) получат также индекс представления
группы В некоторых случаях (но не обязательно во всех) вышеупомянутые
пары состояний получат различные индексы и, следовательно, будут
различаться своими свойствами по отношению к промежуточной группе 'S.
Введение такой группы Ъ может быть полезно по двум причинам. Во-первых,
это может дать удобную, последовательную систему нумерации, включающую
матрицу взаимодействия. Во-вторых, введение такой группы может быть
важным с физической точки зрения в том случае, когда взаимодействие
обладает приблизительной инвариантностью по отношению к группе Ъ. В этом
случае матрица энергии в базисе, нумеруемом неприводимыми представлениями
группы Ъ, приблизительно ди-агонализуется, а индексы могут быть связаны с
физическими состояниями.
Для нахождения промежуточной группы $ мы должны наложить на унитарные
преобразования такие ограничения, которые не исключали бы никаких
преобразований из группы Э13. Для этого нужно сначала выписать
перестановочные соотношения между инфинитезимальными операторами группы
U2[+l. Затем нужно найти замкнутое относительно коммутации подмножество
инфинитезималь-ных операторов группы U2l+1, которое содержит инфи-
нитезимальные операторы группы ?Я3. Это означает, что коммутатор любой
пары операторов такого подмножества есть линейная комбинация операторов
из подмножества. Согласно общим определениям гл. 7, § 2 и, в частности,
соотношению (7.7), такое подмножество определяет группу, которая является
подгруппой группы U2t+1 и в качестве подгруппы содержит группу Я3.
Сравнивая структурные
Унитарная группа Uff
273
константы группы [которые получаются таким путем, со структурными
константами всех известных групп, мы можем идентифицировать группу Ъ.
Таким способом можно при произвольном целом числе I выбрать в качестве
группы ? группу 3Lu+t. В интересном с физической точки зрения случае
малых чисел I других возможностей выбора очень мало. Более прямым путем
группу Э1п+1 вводят, налагая на унитарное преобразование U условие
инвариантности двухчастичной функции
ф = 2ф/(1)ф,(2) (18.25)
i
(см. обозначения в § 1). Тогда
ф=ят(и)Ф- 2 г/у^*,Ф/(1)Ф*(2).
/. k
т. е.
2*V/"-V
i
Иначе говоря, -(u_1)/fc- Так как матрица U унитарна, отсюда следует, что
U-действительная ортогональная матрица. Из таких матриц состоит группа
Пока-
жем, что физическая группа 5?3 содержится в этой группе Э1п+1. Мы должны
найти такой базис векторов <р,- для (2/-f-l) состояний, соответствующих
угловому моменту I, чтобы функция Ф, определенная равенством (18.25),
была инвариантна относительно вращений. Очевидно, что обычный т-базис
