Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пар. Это можно проверить на более сложной модели, где при нечетном п
низшее состояние имеет старшинство о= 1 и отвечает представлению (10 0),
а при четном числе нейтронов и четном числе протонов низшее состояние
имеет старшинство v = 0 и отвечает представлению (ООО). Эти выводы
согласуются с простой одночастичной оболочечной моделью ядра,где все пары
нейтронов и протонов считаются связанными при 7 = 0, причем спин ядра
равен спину последнего нечетного нуклона (см. также гл. 19, § 2).
Группы U2i+i и U2j+i не являются группами симметрии гамильтониана, какой
была группа Ыъ в гл. 7. Преобразования из группы U2i+\ определены лишь на
пространстве конфигураций 1п. Даже в этом пространстве преобразования из
группы U2i+\ не коммутируют с остаточным взаимодействием между
электронами. Правда, в очень грубом приближении можно считать, что они
коммутируют. Если принять это, то в случае состояний
Унитарная группа Un
277
двухчастичной конфигурации I2 все симметричные состояния (т. е. состояния
с четным угловым моментом L и с 5 = 0) обладают одинаковой энергией, а
все антисимметричные состояния (т. е. состояния с нечетным угловым
моментом L и с 5 = 1) имеют рдно и то же, но не совпадающее с предыдущим
значение энергии. Отсюда следует, что гамильтониан должен быть
инвариантным относительно группы U2i+ ь С физической точки зрения этим
оправдывается применение группы, хотя на практике энергетическое
расстояние между уровнями, соответствующими разным угловым моментам L,
довольно велико. То же самое относится и к упомянутым выше (см. также гл.
12, § 1) задачам о ядер-ной структуре.
§ 11. ХАРАКТЕРЫ
В двух следующих параграфах данной главы мы опять рассмотрим
математические свойства группы Un. Мы вычислим характеры неприводимых
представлений и изложим процедуру интегрирования по объему группы. Нам
эти результаты практически не нужны, но они существенны в некоторых
доказательствах, которые мы опустили, и, кроме того, они дают еще одну
связь со сказанным о группе 5?3 в гл. 7.
Для отыскания характеров определим сначала классы сопряженных элементов
группы UN, так как характер неприводимого представления связан с классами
сопряженных элементов (гл. 4, § 9). Любую заданную унитарную матрицу U
можно привести к диагональной форме W путем унитарного преобразования V:
VUV-1 = W. Значит, матрица U лежит в том же классе сопряженных элементов,
что и диагональная матрица W, и требуется лишь рассмотреть характеры
диагональных матриц. Поскольку матрица U унитарна, диагональные матричные
элементы имеют вид ехр(-?0), т. е. для определения диагональной унитарной
матрицы требуется лишь N действительных
параметров Oj, 62 0Лг, которые меняются в интервале
от 0 до 2л. (В случае SUN есть дополнительное условие 01 + 02+ • • • 4-
0/v=O-) Следовательно, хотя группа идг имеет N2 параметров, ее характер
зависит лишь от N параметров. Этим свойством обладает и рассмотренная в
гл. 7 группа М3, характер которой является функцией
278
Глава 18
лишь угла поворота и не зависит от двух других параметров, определяющих
ось вращения.
Рассмотрим теперь представление U("). В базисе, указанном в § 4, матрица
диагонального элемента группы U N в представлении U(a) будет также
диагональна, а матричный элемент, соответствующий базисному вектору с
весом (r1r2. . ,rN), будет равен
Поэтому характер %(а> представления U(a> имеет вид
где суммирование проводится по всем весам представления а, о которых
говорилось в § 4. Путем алгебраических преобразований эту сумму можно
представить в виде отношения двух определителей
где е;. = ехр (-iOj).
В качестве простой иллюстрации этого общего результата возьмем N = 2 и
разбиение а = [я] с одной лишь строкой. Все возможные веса имеют вид
(яО), (я- 1, 1),...
х"*> = 2 ехр
r^i. ..rN
(18.28)
(18.29)
... 1
Унитарная группа U^
279
(О, и). Тогда из выражения (18.28) получаем %(л) = ехр (- m01) + exp [- i
("- 1) 0Х-Ю2] + ...
...+ ехр (- in 02) = exp - j in (0х+02) j X
XSin
in{y(n+l)(e1-'e2)j> j sm-jcej-0,).
Этот результат следует также из формулы (18.29). При ограничении на
группу SU2 полагаем 9^02 = 0. Тогда это выражение сводится к знакомому
выражению (7.42) с п = 2/.
§ 12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ГРУППЕ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
Согласно общей теории, изложенной в гл. 4, при интегрировании по
групповым параметрам для характеров неприводимых представлений группы UN
должны получаться соотношения ортогональности. Поскольку характер-это
функция на классах сопряженных элементов, необходимо интегрировать лишь
по параметрам 0;, которыми различаются классы сопряженных элементов.
Тогда в силу формулы (4.25) и сказанного в гл. 7, § 1 должно получиться
соотношение типа
5 Х(а)* №Р) (6) Р (0) = баРУ, (18.30)
где 0 -множество параметров 0Х, 02, ..., 0№ a d0 = d0x d02 ... dQN.
Областью интегрирования для каждого угла 0;- будет интервал от 0 до 2л.
Объем V определяется
Г*
как V = ] р (0)d0. Осталось, пользуясь результатами приложения 4, § 3,
