Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Lг = -i (хд/ду--- уд/дх) и т. д. - инфинитезимальные операторы вращений
(гл. 5, § 6; гл. 8, § 2). Мы построим набор из десяти операторов,
коммутирующих с гамильтонианом (19.1), и покажем, что они являются
инфинитезимальными операторами группы U3. Начнем с того, что определим
три
292
Глава 19
оператора ал, ау, аг и три соответствующих эрмитовосопряженных оператора
aj, ату, a2:
ах = (х + д/дх)/уг2, ау = (у+д/ду)/У2, а2 = (z + d/dz)/1/2, а! = (х-
д1дх)!\'Г2, aj = (у-д/ду)/}/г2, а] = (z -d>dz)/V2.
(19.2)
(Капомним, что оператор рх =-ihd/dx эрмитов и, следовательно, оператором,
эрмитово-сопряженным по отношению к оператору д/дх, является оператор -
д/дх.) Нетрудно убедиться, что выполняются следующие перестановочные
соотношения:
К> a?.]="[aj, aj'] = 0, [а?, (19.3)
[а,, Н] = а,, [aj, H] = -aJ. (19.4)
[При выводе соотношений (19.4) мы учли явный вид гамильтониана.]
Гамильтониан (19.1) можно также записать в виде
Н = Ц(ЧЧ + |)- (19-5)
Q
Эти алгебраические соотношения часто используются в учебниках квантовой
механики при решении уравнения Шредингера для гармонического осциллятора.
Дело в том, что из соотношений (19.4) следует, что если ф-собственная
функция гамильтониана, отвечающая энергии Е, то функции а4ф тоже
собственные и отвечают энергии Е-1. Другими словами, операторы а4
уменьшают, а операторы aj увеличивают энергию на единицу. Волновая
функция ф0 низшего энергетического уровня должна удовлетворять условию
а4фо=:0, так что низшее собственное значение гамильтониана (19.5) равно
3/2. С учетом явного вида операторов а? это условие сводится к простым
дифференциальным уравнениям для функции ф0, решение которых, с точностью
до нормировки, имеет вид ф0 = ехр(-Vj г2). Возбужденные состояния
отвечают целочисленным (с точностью до общего слагаемого 3/2) энергиям, а
волновыми функциями возбужденного уровня с номером N являются функции
вида
(а^Л,*(аЙЛ,*(а+)Л?гфс, (19.6)
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 293
где N х, Ny и Nz-целые числа, такие, что Nx + Ny-\--\-Nz - N. В
частности, при N- 1 имеет место трехкратное вырождение, а при N - 2 -
шестикратное; в общем случае вырождение имеет кратность (N-\-\)(N-{-2)!2.
Возможные значения чисел Nх, N у и Nz при малых N приведены в табл. 19.1.
Сразу же видно, что это вырождение не есть ожидаемое (2/ + 1)-кратное
вырождение. Следовательно, в данном случае вырождение должно быть
результатом объединения некоторых (21 + 1)-кратно вырожденных уровней.
Соответствующие значения / приве-
Т аблица 19.1
N l 2 3
Nx Nv 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 2 0 10 1 0 0 2 0 1 1 3 0 0
2 2 1 10 0 1 0301020211 0 0 3 0 1 0 2 12 1
I 1 2, 0 3, 1
дены в последней строке табл. 19.1. Чтобы установить, каким образом
получены эти значения величины /, заметим, что при вращениях операторы аа
преобразуются по представлению Da) группы Я3. Поэтому, так как состояние
гр0 сферически-симметрично, возбужденные состояния (19.6) с данным N
будут преобразовываться по симметризованному произведению представлений,
содержащему N сомножителей: Dll) @ D(1) ... @ D(1) (приложение 3, § 1).
Появление в данном случае симметризован-ного произведения вызвано тем,
что все операторы коммутируют между собой. В рассматриваемом нами
одночастичном случае антисимметрии неоткуда взяться. Формулы приложения
3, § 1 для характеров симметри-зованных произведений вместе с формулой
(7.42) для характеров представлений группы 5?3 приводят к разложению
симметризованных произведений, которым и определяются значения величины
I, приведенные в табл. 19.1.
Установив, что гармонический осциллятор обнаруживает большее вырождение,
чем должно быть в силу одной
294
Глава 19
сферической симметрии, обратимся теперь к задаче отыскания большей группы
симметрии для гармонического осциллятора. Из перестановочных соотношений
(19.4) можно вывести, что при любых q и q' выполняется равенство [а?а?-,
Н] = 0. Его можно также получить, заметив, что оператор а?' уменьшает, а
оператор а? повышает собственное значение гамильтониана на единицу.
Поэтому произведение aja?* не изменяет собственное значение гамильтониана
и осуществляет преобразование в пределах векторных пространств,
образованных наборами вырожденных собственных функций. Таким образом, мы
имеем девять операторов aja?-, коммутирующих с гамильтонианом. Используя
их, мы можем образовать множество унитарных операторов симметрии вида
и = ехр(2 Сав'^ч'у
где коэффициенты су? удовлетворяют условию антиэрми-товости с*ц,ц - -
сЦ'Ц. Этим условием ограничивается свобода выбора коэффициентов cqq', так
что остается лишь произвол в выборе девяти действительных чисел. Таким
образом, мы приходим к 9-параметрическому семейству унитарных
преобразований, коммутирующих с гамильтонианом Н. Чтобы показать, что на
самом деле мы имеем дело с группой U3, рассмотрим действие этих
преобразований на операторы aj:
(а+)' = Uajll-1 = 2 (ехр C)s.s aj., (19.7)
S'
где через С обозначена матрица коэффициентов cqq'. Чтобы получить этот
