Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
результат, нужно воспользоваться операторным тождеством
едВе-А = В +[А, В]+1[А,[А,В]] + 1[А,[А, [А, В]]] + ... и соотношением
[а^а^, asj = 6?'sa?,
следующим из формулы (19.3). Смысл формулы (19.7) в том, что ее правая
часть, в которую входит антиэрмитова матрица С, представляет собой общий
вид унитарного
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 295
преобразования в трехмерном пространстве операторов а|. Таким образом,
операторы U находятся во взаимнооднозначном соответствии с матрицами ехр
(С), образующими группу U3. В этом смысле матрица оператора aja?'
задается выражением
(a?a9')f.s = ^Q's^qt-
Инфинптезимальными операторами преобразований симметрии являются девять
независимых антиэрмитовых комбинаций операторов aja,-, соответствующих
девяти ан-тиэрмитовым Зх 3-матрицам из гл. 11, § 4. По некоторым причинам
оказывается более удобным выбрать комбинации, являющиеся неприводимыми
тензорными операторами по отношению к вращениям (гл. 7, § 4, п. Е). Так
как операторы а] и а? преобразуются при вращениях как векторы, т. е. по
представлению D(1), девять операторов а^а,- преобразуются по произведению
представлений DU) 0 D(1) = D(0) 0 D(1> 0 D(2) [мы воспользовались
формулой приведения (7.44)]. Инвариант, соответствующий представлению
D(0), по сути дела совпадает с гамильтонианом,
так как из (19.5) следует, что ^aJa?=H-у. Вектор-
ч
ные операторы, преобразующиеся по представлению D:1), являются
операторами углового момента, так как Lz = - i{xdjdy-уд/дх) = - i {stay-
a]ax), и т. д. Остальные пять независимых комбинаций можно представить в
виде тензорного оператора второго ранга (квадрупольного), аналогичного
сферическим гармоникам Y%. В обычных обозначениях гл. 7, § 4, п. Е
напишем
Qo2) = 2а2аг а.гаА-' аьау'
Qi2> = У -|(-аК -1aja, -;faja, - iaja"),
Q0= У у (а1ах+4аг - i4az~ialay)< (19-8)
Q(22)= У Уахах а1ауЛ-1а\ау-\->-ауах)>
Q(i|= У у(аК-14ау~ta+ay-taja,).
296
Глава 19
Поскольку гамильтониан Н имеет в качестве группы симметрии группу U3, его
собственные функции должны нумероваться соответственно неприводимым
представлениям этой группы. Сначала заметим, что U3 = U1xSUs (гл. 10, §
4). В нашем случае инфинитезимальный оператор группы U1 есть просто
инвариант 2а?а<{ = Н-3/2,
я
а остальные восемь операторов с нулевым следом (Ц и Q(p2)) соответствуют
группе SU3. Таким образом, непри-
MT=1/z(Nx-Ny!
Рис. 19.1.
водимое представление группы U1 задается величиной N, и нам остается
идентифицировать представления группы SU3, соответствующие каждому уровню
энергии. Возвращаясь к описанию инфинитезимальных операторов группы SU3
(гл. 11, § 6), мы видим, что с помощью матриц
(11.2) можно связать оператор 73 (aja^-f aja^-2а|аг) с оператором Y,
а оператор 1/2 (aja* - a^ay) -с Тг. Поэтому мы можем связать числа N х,
Ny и N г, введенные выше, с числами Y и Мт, использовавшимися в гл. 11,
соотношением
±.(NX + NV-2N,)=Y, \{Nx~Ny) = MT. (19.9)
Тогда из рис. 11.6 явствует, что три собственные функции уровня с N=1
принадлежат представлению (1 0),
Потенциал гармонического осциллятора и кулоновский потенциал 297
уровня с N - 2-представлению (2 0), а уровня с N - 3 - представлению (3
0). В качестве иллюстрации мы воспроизвели на рис. 19.1 весовую диаграмму
с рис. 11.6 для представления D(3 0). У каждой точки диаграммы указаны
соответствующие значения (Nx, Ny, Nz). Так как произведения (19.6)
симметричны относительно перестановок N сомножителей aj и потому (гл. 18,
§ 7) принадлежат представлению [N] группы U3, множество собственных
функций гамильтониана, отвечающих энергии N -f-3/2, преобразуется по
представлению (N 0) группы SU3.
Вопрос о том, какие значения углового момента возникают при данном N, с
точки зрения теории представлений групп эквивалентен вопросу о редукции
неприводимого представления группы SU3 на ее подгруппу 5?3. Подчеркнем,
что эта редукция отлична от редукции на подгруппу SU2, о которой
говорилось в гл. 8, § 5. Ин-финитезимальными операторами физических
вращений, образующих группу 5i3, являются операторы Ц [формула (19.7)], а
инфинитезимальными операторами подгруппы SU2, соответствующей плоскости
ху, являются операторы
Т+ = а1ау, Т_ = аЯ, Т, =-^ (aja^-aja,,)- (19.10)
Ясно, что, например, оператор Т+ есть "повышающий оператор", который
уменьшает величину Ny на единицу и увеличивает на единицу величину Nх и
тем самым осуществляет сдвиг вправо на один узел решетки на диаграммах,
подобных изображенной на рис. 19.1. Пользуясь соотношениями (19.3), легко
показать, что операторы (19.10) удовлетворяют обычным перестановочным
соотношениям (7.30) группы SU%. Операторы (19.10) не имеют, конечно,
никакого отношения к изоспину, но мы пользуемся теми же обозначениями,
чтобы подчеркнуть математическую связь с изложенным в гл. 11. Оператор
углового момента Lz можно теперь представить в виде
Lz = - t(4ay-аЯ) = - i (Т+- Т-) =
= -i (T* + iTy T* + Пу) =
= 2Т,. (19.11)
Поэтому набор собственных значений оператора Lz в пространстве
