Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
оператора Казимира ограничиваются возможные представления, мы уже видели
в гл. 19, § 4, п. Б.
Найденные выше представления Т<'г"> - не единственные унитарные
неприводимые представления группы J?3. Можно было бы сохранить верхний
предел возможных значений К3 в этих представлениях. Это привело бы к
своего рода "зеркальному отражению" представлений Т<л") с собственными
значениями оператора К3, идущими до •- оо. Можно также построить
представления, в которых отсутствуют как верхний, так и нижний пределы
для К3. Но эти представления не имеют отношения к задаче об осцилляторе,
поскольку содержат состояния с неограниченной (и отрицательной) энергией.
Использованный здесь метод построения неинвариантной группы J?s
одномерного осциллятора может быть применен в более сложных трехмерных
задачах для осцилляторного и кулоновского потенциалов. В последнем случае
все собственные функции относятся к единственному представлению группы
J?5, которая аналогична пятимерной группе вращений, но отличается от нее
знаком одной из компонент метрики. Группа симметрии содержится в качестве
подгруппы в инвариантной (динамической) группе ??ъ.
Выбор динамической группы для данной системы не является, однако,
единственным. Подобная группа должна включать в себя группу симметрии и,
следовательно, описывать имеющееся вырождение, а также содержать
операторы, связывающие собственные функции. Спектр энергий должен был бы
возникнуть как допустимые собственные значения одного из операторов
группы. С этой точки зрения понятие динамической группы представляет
интерес в теории элементарных частиц. Здесь массы разных частиц
составляют спектр, значения которого на первый взгляд не связаны друг с
другом. Представляет интерес найти динамическую группу, объединяющую эти
значения в рамках одного представления и, стало быть, соотносящую массу с
некоторыми операторами группы.
На уровне, более близком к практике, неинвариантные группы могут быть
использованы для вывода простых формул для матричных элементов перехода
между собственными функциями. Например, в случае простого одно-
Дополнительные сведения (отдельные вопросы) 313
мерного осциллятора, согласно определениям операторов Н и "!, имеем
тождество вида х2е=Н + 2К1. Матричные элементы оператора х2 могут быть
вычислены по матричным элементам операторов группы Н и Кх, которые даются
формулами'(20.8) и (20.11) для неприводимых представлений. Заметим, что
х2- это один из операторов, определяющих электромагнитные переходы
квадрупольного типа.
§'2. ЭФФЕКТ ЯНА -ТЕЛЛЕРА И СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ
Эффект Яна - Теллера связан с симметриями, рассматриваемыми при
приближенном разбиении гамильтониана. Поскольку разбиение является лишь
приближенным, имеются члены, нарушающие симметрию. Чтобы отличить этот
эффект от нарушения симметрии, связанного с добавлением внешнего
возмущения (гл. 5, § 8), иногда пользуются термином "спонтанное
нарушение". Хотя это понятие носит весьма общий характер, впервые эффект
Яна - Теллера был рассмотрен в теории строения молекул, где он
проявляется наиболее четко. Позже он нашел приложение в теории
элементарных частиц. Для большей наглядности мы, рассматривая эффект Яна
- Теллера, будем говорить о строении молекул, но общность выводов будет
очевидна. В конце параграфа мы кратко коснемся приложения к элементарным
частицам.
А. Адиабатическое приближение
Молекула состоит из ядер и электронов, взаимодействующих за счет обычных
электрических сил; обозначим координаты ядер через R, а электронов-через
г. Поскольку масса ядра более чем в 1000 раз превышает массу электрона, а
силы взаимодействия одни и те же, ядра должны двигаться значительно
медленнее электронов. Основное приближение состоит в том, чтобы сначала
рассчитать орбитальное движение электронов, считая ядра неподвижными, а
затем вычислить равновесные положения, рассчитать вращательное и
колебательное движения ядер и оценить их влияние на энергии электронов.
Такое приближение называется адиабатическим, но в случае
314
Глава 20
молекул его часто называют приближением Борна-Оп-пенгеймера.
Рассмотрим это приближение более детально. Запишем полный гамильтониан в
виде
H(R, r) = T"(R) + T,(r) + V (R, г), (20.12)
где ТЛ7 и Те-кинетические энергии ядер и электронов, а V - потенциальная
энергия взаимодействия трех видов: ядер с ядрами, электронов с
электронами и электронов с ядрами. В адиабатическом приближении прежде
всего решается уравнение Шредингера для электронов
{Te(r) + V(R, r)}^(R, r) = ?"(R)^(R. г), (20.13)
в котором вектор R фиксирован. Мы нумеруем собственные значения индексом
п, хотя на практике индекс должен быть составным ввиду многомерности
координат электронов г. Затем находят приближенную собственную функцию ?
гамильтониана (20.12), записывая ее в виде ?(R, r) = \|)"(R, г)Фл(Р).
Подстановка этой функции в уравнение Шредингера H(R, г)? = ?? приводит к
уравнению
{Т.v (R) + Еп (R)} Ф "( R) = ЕФ "ОR), (20.14)
