Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
X2-матрицы 1(г). Таким образом, мы видим, что в пространстве VА
действует, вообще говоря, приводимое представление группы SU2¦ Это
представление может быть разложено на неприводимые представления D(r),
что и приводит к классификации состояний системы по изоспину Т. Эта
процедура перехода от изоспина отдельного нуклона к изоспину системы
нуклонов полностью аналогична той, которая использовалась в гл. 8, § 2
при переходе от углового момента отдельной частицы к полному угловому
моменту L системы частиц. Изоспины отдельных нуклонов объединяются точно
так же, Как угловые моменты частиц. Таким образом, в системе из А
нуклонов можно получить состояния с полным изоспином, принимающим
значения до 1/2А. Так как сильное взаимодействие зарядово-независимо, т.
е. не зависит от зарядовых состояний нуклонов, описывающие это
взаимодействие операторы будут единичными на двумерном изотопическом
пространстве каждого нуклона. Отсюда следует, что гамильтониан сильного
взаимодействия коммутирует с операторами группы SU2 и, согласно
результатам гл. 5, § 3, собственные функции этого гамильтониана можно
классифицировать по неприводимым представлениям D(T) группы SU2 или,
другими словами, по изоспину Т.
Для системы, состоящей из Z протонов и N нейтронов, т. е. имеющей
значение A =Z-\-N, оператор изоспина записывается в виде Т9=2^(0) гДе У>
z> а i пробе-
i
гает значения от 1 до А. Отсюда следует, что оператор полного заряда для
этой системы можно записать в виде
294
Главе 10
Q=^]Q (i)=e{1/a(iV+Z)+Tz}. Ясно, что для каждого
i
ядра оператор заряда должен быть кратен единичному с собственным
значением <Q>=eZ. Стало быть, и оператор Тг кратен единичному с
собственным значением Мт=г12 (Z-N). Так как размерность представления Drn
равна 2Г+1, собственные значения с полным изоспином Т являются (2Г+1)-
кратно вырожденными. В случае группы Э1 з было удобно различать
вырожденные состояния но собственным значениям оператора iz, т. е. M~J,
J-1,... . . ., -/. Точно так же (27'-(-1)-кратно вырожденные состояния с
полным изоспином Т различаются по собственным значениям оператора Tz,
принимающим значения Мт=Т, Т-1, . . ., -Т. Как было показано выше, Мт=7а
(Z-N). Это значит, что различные компоненты мультиплета с данным Т
соответствуют разным ядрам, а именно ядрам с одним и тем же значением А,
но разными значениями (Z-N).
В качестве первого примера рассмотрим систему из двух нуклонов, которые
обозначим индексами i и Мы ожидаем получить в этой системе состояния с Т
= 1 и Т=0. Четыре возможных состояния системы t
Ф1 = \PiPj>> Ф2 = \Pitij>, г)>з = | ",./>;>, \|>4 = |w>
имеют значения Мт, равные 1, 0, 0 и -1. Можно показать, что симметричная
комбинация ф(=(ф2+фз)/К2 вместе с ipi и ф4 образует триплет с Т-1, а
фз=(ф2-'фз)Д^2 - синглет с Т=0. Для этого заметим сначала, что, так как
имеет значение Д/г =+1, этот вектор соответствует значению Т = 1. Теперь
мы можем построить состояние с Т=1, Мт=0 при помощи понижающего
изоспинового оператора Т_, определенного по аналогии с оператором ¦L
[формула (7.40)]. В случае одной частицы из выражений (10.1) следует, что
матрица t_ имеет вид 1 /0 0\ t_=2 (T*-iT,)=^ 0)
и обладает свойством f_|p> = |rc>, t_|rc>=0. Для двух частиц Т_
=t_(i)+t_(/), так что
Т- I PiPj> = I П[Р;> +1 = Фз + Фз = V
Изоспин и группа SV2
295
Появление множителя V2 ясно из формулы (7.40). Аналогично Т_ф'=0, и, так
как фз имеет значение Мт=0, этот вектор соответствует значению Т=0.
Отметим, что, хотя зарядовая независимость ведет к вырождению между
состояниями фь ф2 и ф4, образующими мультиплет с Т = 1, вырождение между
состояниями с Т=0 и Т=1 отсутствует. Дело в том, что состояния с Г=1
являются четными по отношению к перестановкам индексов i и /, а состояния
с Т=0 - нечетными. Следовательно, в силу принципа Паули состояния с Г=1
являются нечетными по отношению к перестановкам спиновых и
пространственных переменных, а состояния с Т=0 - четными. В
действительности сильное взаимодействие носит такой характер, что
состояния, четные по спиновым и пространственным координатам, имеют
меньшую энергию. Следовательно, основное состояние (гср)-системы
(дейтона) обладает изоспином Т=0. В случае же Т = 1 ядерные силы
оказываются недостаточными для образования связанных состояний. Этим
объясняется тот факт, что, несмотря на зарядовую независимость, в (цр)-
системе есть связанное состояние, а в системе двух нейтронов - нет.
В атоме основное состояние всегда^характеризуется максимальным возможным
значением полного спина S. Этот результат, так называемое правило Хунда,
был объяснен в гл. 8, § 6, п. Д.'В атомном же ядре основное состояние
обладает минимальным значением полного изоспина Т, и это можно объяснить
аналогичным образом. Минимальным, а не максимальным, потому что в ядре
между нуклонами действуют силы притяжения, а между электронами в атоме -
силы отталкивания. Поскольку данное ядро характеризуется определенными
значениями N и Z, оно обладает также и фиксированным значением Мт. Таким
