Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
состоянии, то последнее, бывшее квартетом U, становится орбитальным
синглетом А 2- Поэтому в отсутствие спинового момента оно не может быть
расщеплено магнитным полем, что следует из общих соображений о правилах
отбора. Оператор L преобразуется подобно вектору D(l) при вращениях, или,
согласно табл. 9.5, по представлению Т{1) группы О. Такой оператор должен
иметь нулевое среднее значение по состоянию А2, что следует из обычных
пра-
286
Глава 9
вил отбора, так как произведение Тх(?)А2 не содержит А2-Сдвиг энергии,
обусловленный магнитным полем, дается просто формулой (9.8):
А Ем = 2рй <В • S> = 2ц BBMS
с g-фактором, равным 2. Такую ситуацию (магнитные свойства основного
состояния обусловлены исключительно спином) часто называют
"замораживанием" орбитального движения сильным кристаллическим полем.
Заметим, что, хотя основное состояние имеет одинаковую симметрию U
относительно группы О во всех трех случаях, g-фактор равен 0,4 в случае 1
и 2,0 - в двух дру-г. х. Эксперимент дает значение 1,96, согласующееся со
случаями сильного и промежуточного поля.
ЛИТЕРАТУРА 1)
Впервые точечные группы для описания расщепления в кристаллическом поле
были использованы в работе
Bethe Н. A., Ann. der Phys., 1929, В. 3, S. 3, 133.
Очень подробные таблицы, относящиеся к кристаллографическим точечным
группам, даны в книге
Roster G. F., Dimmock J. О., Wheeler R. G., Statz H., Properties of the
Thirty-two Point Groups, Technology Press, М. I. Т., Cambridge, Mass.,
1963.
Группа икосаэдра описана в книге
Murnaghan F. D., Theory of Group Representations, Johns Hopkins Press,
Baltimore, 1938. [Имеется перевод: Мурнаган, Ф. Д. Теория представлений
групп.- М.: ИЛ, 1955.]
Подробное обсуждение двузначных представлении можно найтп в работах
Opechowski W., Physica, 1940, v. 7, p. 552.
Bradley С. J., Cracknell A. P., The Mathematical Theory of Symmetry in
Solids, Oxford University Press, 1972.
Штрайтволъф Г. Теория групп в физике твердого тела.- М.: Мир, 1971*.
Желудев И. С. Симметрия н ее приложения.- М.: Атомиздат, 1976*.
Shubnikov А. V., Belov N. V., Coloured Symmetry.- London: Pergamon Press,
1964*.
Для дальнейшего чтения по теории кристаллических полей рекомендуем книгу
Джадда (см. литературу к гл. 8), а также монографию
*) Литература, помеченная звездочкой, добавлена при переводе.- Прим. ред.
Точечные группы и их применение
287
Abragam. A., Bleaney В., Electron Paramagnetic Resonance of Transition
Johns, Oxford University Press, 1970. [Имеется перевод: Абрагам А., Блини
Б. Электронный парамагнитный резонанс.- М.: Мир, 1972.]
ЗАДАЧИ
9.1. Пользуясь стереопроекцией, получите все элементы группы О из четырех
поворотов на угол 2я/3.
9.2. Кубический кристалл обладает группой симметрии О. а) Если
деформировать его, растянув вдоль направления (111) (оси третьего
порядка), то какова будет после этого его группа симметрии? б) Если,
напротив, растянуть его вдоль оси четвертого порядка, то какова будет
группа ого симметрии в этом случае?
9.3. Кубический кристалл с группой симметрии О обладает набором
собственных состояний, индицируемых по неприводимым представлениям О.
Симметрия кристалла понижается так, как в задаче 9.2. Определите, какие
состояния в каждом случае расщепляются, и снабдите их индексами,
соответствующими неприводимым представлениям новых групп симметрии.
9.4. Покажите, что функция / (0, ср)-Ym (9. ф)+У-т (0, ср), где то и I -
четные целые числа, инвариантна относительно группы симметрии D2h¦
9.5. Взяв в качестве базиса функции х, у, z, постройте матрицы для одного
элемента в каждом из классов группы О. Сравните характеры этих матриц с
их значениями в таблице характеров (см. приложение) и покажите, что
функции х, у, z принадлежат представлению Тх. Отсюда следует, что атомное
р-состояние не расщепляется возмущением, имеющим кубическую симметрию.
9.6. Покажите, что пространство полиномов второго порядка по х, у, z
разлагается на сумму А ф 7? 0 Т2 представлений группы О. Возьмите
симметризованное произведение (§ 9, п. Б) представления Тг на самого
себя. Путем проектирования или другим способом постройте полиномы,
преобразующиеся по каждому из этих представлений.
9.7. По формуле (7.42) вычислите характер'представления группы О,
порожденного набором семи сферических гармоник Ут'-Разложите это
представление по неприводимым представлениям группы О. Выведите отсюда
характер расщепления атомного /-состояния в присутствии возмущающего поля
кубической симметрии.
9.8. Электрон движется в потенциальном поле, описываемом группой
симметрии C±v, а его волновая функция имеет симметрию Аг. (Таблицу
характеров см. в приложении 1.) Меняется ли энергия состояния (в первом
порядке теории возмущений при наложении слабого электрического поля: а)
вдоль оси четвертого порядка, б) в плоскости, перпендикулярной оси
четвертого порядка. (В случае поля, направленного вдоль оси z,
соответствующий оператор пропорционален z.)
288
Глава 9
