Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= =Z-\-N, которое ввиду приблизительного равенства масс протона и
нейтрона иногда называют~массовым числом ядра. Можно даже рассматривать
протон и нейтрон как два разных состояния одной частицы. В таком
утверждении нет особого физического смысла: любые две частицы можно
рассматривать как разные состояния одной. Но как правило, это будет
приводить литпь'гк ненужным усложнениям. В случае же с протоном и
нейтроном при-
И"оспин и группа SU2
291
близительное равенство масс и неразличимость по отношению к сильному
взаимодействию приводят, как мы скоро увидим, к существенным упрощениям.
А именно все сказанное выше означает, что гамильтониан, описывающий
сильное взаимодействие протонов и нейтронов, инвариантен по отношению к
преобразованиям, смешивающим протонные и нейтронные состояния. Рассмотрим
сначала математическую сторону этих преобразований.
Два вектора состояния нуклона (протонный и нейтрон-пый) можно
использовать для того, чтобы определить абстрактное двумерное векторное
пространство, так что |p>=(i) и 1га>=((r)). Рассмотрим группу U2 унитарных
преобразований этого пространства. (Преобразования, не принадлежащие
группе U2, не сохраняли бы нормировку векторов состояния.) Как показано в
гл. 7, § 2, матрицы инфинитезимальных операторов унитарной группы должны
быть антиэрмитовыми. Обратно, для любой эрмитовой матрицы Н соотношением
U=exp(tH) определяется унитарная матрица U. Заметим, что любую эрмитову
матрицу 2x2 можно представить в виде линейной комбинации четырех матриц
(10.1)
T"-(i о)' T*"(o_l)-
Таким образом, эти четыре матрицы можно рассматривать как
инфинитезимальные операторы группы U 2. Группа, состоящая из унитарных
матриц 2x2 с определителем, равным +1, называется группой SU 2.
Ограничение, наложенное на определитель унитарной матрицы, означает, что
для группы SU2 след матрицы инфинитезимального оператора должен быть
равен нулю. Это значит, что единичная матрица не входит в число
инфинитезимальных операторов группы SU2. (То, что мы ограничились группой
S Uг, соответствует исключению из рассмотрения преобразований, состоящих
в одновременном изменении фазы обоих базисных векторов состояния
нуклона.) Сравнивая формулы (10.1) и (8.15), легко заметить, что с
точностью до множителя V2 матрицы тд совпадают со спиновыми мат-
292
Глаша 10
рицами частицы спина 1/2. Следовательно, матрицы tg= =1/2Tg совпадают со
спиновыми матрицами sq и удовлетворяют перестановочным соотношениям
(7.26) для инфи-нитезимальных операторов группы 5?3.
Так как все свойства неприводимых представлений группы 5?3 были выведены
в гл. 7, § 4 лишь из этих перестановочных соотношений, мы получим те же
неприводимые представления и для группы SU2. Будем обозначать эти
неприводимые представления символом D(n, Т=0, V2, 1, . . ., как и в
случае группы 5?3. Величину Т назовем изоспином. Принимая во внимание
установленную в гл. 8 связь между группой 5?3 и угловым моментом, мы
можем ожидать, что собственные функции гамильтониана, инвариантного
относительно группы SU2: будут иметь такую же структуру, как и
собственные функции 5?3-инвариантного гамильтониана. (Буквой Т будем
обозначать полный изоспин системы, сохраняя обозначение t за изоспином
отдельного нуклона, в соответствии с обозначениями L и I для углового
момента, использованными в гл. 8, § 2.) В частности, состояния нуклона
[р> и \п> имеют изоспин t-l/2, и им приписываются значения mt = =1/2 для
протона и /п,=-V2 для нейтрона, причем mt - собственное значение
оператора tz. Оператор заряда нуклона может теперь быть представлен в
виде Q=e(V2+tz)t так что 0|ц>=е|ц>, Qln^O в соответствии с величиной
заряда протона и нейтрона. Выбранные нами значения величин mt для протона
и нейтрона припяты в физике элементарных частиц. В ядерной физике обычно
выбираются противоположные значения, что делает положительной величину Tz
для большинства ядер. Это объясняется тем, что из-за наличия кулоновского
отталкивания между протонами последних в ядре, как правило, меньше, чем
нейтронов.
А. Описание состояний с помощью изоспина, вырождение
Понятие изоспина оказывается особенно ценным при рассмотрении
одновременного изотопического преобразования векторов состояния всех
нуклонов, составляющих исследуемую систему. Векторное пространство VA,
описывающее всевозможные зарядовые состояния системы из А нуклонов, имеет
размерность 2А. Мы рассматриваем
Ймопип в групп" StJi
29S
преобразования этого пространства, индуцированные одновременным "S' ^-
преобразованием вектора состояния каждого нуклона. Это унитарное
преобразование, действующее в пространстве VA, формально можно
представить
в виде произведения U = Пи (О, где U (г) - преобразо-
/=1
вание из группы SU2, действующее в двумерном пространстве векторов
состояния нуклона с номером i. Для инфинитезимальных операторов такая
структура оператора
А
U означает, что Т=t(i). Отсюда прямо следует, что
операторы Т удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и 2
