Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
раз напомним о том, что в действительности поле в бромате ванадия
достаточно сильно для того, чтобы его можно было рассматривать в
приближении промежуточного поля (случай 2). Перейдем теперь к случаю,
когда кристаллическое поле велико по сравнению со спин-орбитальным
взаимодействием. Начнем
вновь с одного мультиплета iF и рассмотрим действие кристаллического поля
до включения малого снин-орбитального поля. При этом можно сначала
пренебречь наличием спина и рассмотреть разложение орбитального состояния
с Ь=3 по неприводимым представлениям точечной группы О. Для этого нужно
всего лишь знать характер представления D(3), вычисляемый вновь по
формуле (7.42) и представленный в табл. 9.5 (там же приведено разложение
представления D(3) на A20T1(J)T2). Отсюда получается вторая система
уровней на рис. 9.9, где показано
Точечные группы и их применение
281
расщепление уровня 4F2 на три уровня 1А2, *Тг и 4712, обладающие
кратностями вырождения 4, 12 и 12 (с учетом четырехкратного вырождения по
спину).
При учете малого спин-орбитального взаимодействия произойдет дальнейшее
расщепление. Чтобы определить его величину, заметим, что спиновое
состояние 5=3/а преобразуется как U под действием группы О (табл. 9.5,
так что, например, уровень М2 преобразуется как произведение ?/0Ч2.
Однако подобные произведения можно разложить по неприводимым
представлениям группы О следующим образом:
?7(r)Л2 = 0
~U(r)T 2== 2UQ) Е% 0 Ej_,
t/(g)7'i = 2t/0?20?1;
это следует из таблицы характеров.
Данный этап вычислений аналогичен разложению
D(3/a)0D(3)=DC/2)0D(,/*)+D(5/^-|-D(3/2) для группы 91 л, использовапному
прп выводе второй (слева) системы уровней на рпс. 9.8. Окончательно спин-
орбитальное взаимодействие приводит к третьей системе уровней на рис.
9.9. Мы не будем далее останавливаться на расщеплении и упорядочении
уровней, обусловленных спинорбитальными силами.
Сильное иоле
В заключение рассмотрим на том же примере бромата ванадия расщепление,
которое следует ожидать в пределе сильного поля. В этом случае
кристаллическое поле сильнее кулоновского взаимодействия e2/r;j- между
электронами, так что его следует учитывать в первую очередь. Это, однако,
несложно, так как кристаллическое поле описывается одночастичным
оператором и его влияние сводится к искажению центрального поля, в
котором движутся электроны. Таким образом, вместо сферически-
симметричного поля с обычным пятикратным вырождением уровня (значения пг
=2, 1, . . ., -2 для трех валентных электронов в d-состояниях) мы получим
единственное состояние электрона, отвечающее неприводимому представлению
группы симметрии О (ту же симметрию
282
Глава 9
имеет теперь и само поле). Из табл. 9.5 видно, что D<2) = =Е0Т2, так что
пять d-орбит расщепляются в дублет, обозначаемый через е, и триплет t2.
Практически оказывается, что для бромата ванадия состояние t2 имеет более
низкую энергию, чем состояние е.
При наличии трех электронов возникает вопрос о том, какую из орбит, е или
t2, использовать, но ясно, что основное состояние будет иметь
конфигурацию tl, в которой все три частицы находятся на орбите t2 с более
низкой энергией. При повышении энергии возбуждения должны также
наблюдаться состояния, соответствующие конфигурациям t\e, t2e3 и е3.
Полный спин S все еще будет в отличие от L хорошим квантовым числом, и
правило Хунда, благоприятствующее состояниям с большим S, все еще будет
применимо. Поэтому мы, как и в случаях 1 и 2, ограничимся случаем
максимального спина 6'=3/2.
Кулоновское взаимодействие между электронами приведет теперь к снятию
орбитального вырождения каждой конфигурации типа t\ и ее расщеплению. На
этом этапе расчета гамильтониан, включающий Н0, Hi и Н3, остается,
разумеется, инвариантным относительно группы О и вновь возникающие
состояния будут классифицироваться по тем неприводимым представлениям
группы О, которые появляются при разложении представления произведений,
подобных Т2 (r) Т2 (g) Т2. для конфигурации t\. Поскольку, однако, спиновая
часть волновой функции, соответствующей значению S = 3I2, симметрична
относительно всех перестановок, в силу принципа Паули необходимо, чтобы
орбитальное состояние было полностью антисимметричным. Следовательно, нам
нужно знать характеры антисимметризованных произведений. В гл. 6, § 6
была выведена формула (6.33) для характера симмет-ризованного
произведения двух сомножителей; вычтя из него {x<a>(Ga)}2 в случае
полного пространства произведения , получим
Хй;" " (G.) = i <ХМ (G.) с¦-1 Xm(G9,
где использованы обозначения гл. 6, § 6. Для произведения трех
сомножителей получим (т. 2, приложение 3, § 1) аналогичную формулу
ХЙ?ис?2 <°") = т[{x(a)(Ge)}3-3X<">(G!)X(a}(Ga)+2x('*)(GZ)].
Точечные группы и их применение
283
Для наинизшей конфигурации t\ характер произведения ^2(r) Т ъ(r) Т2 показан в
табл. 9.5; как нетрудно видеть, только состояние А2 имеет правильную
симметрию, так что основным состоянием в сильном поле вновь является А 2-
