Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
'г
то же значение характера относительно вращений. Однако при инверсии R
изменяет знак, a L - не изменяет, поскольку при этом одновременно меняют
знаки г и р, и, таким образом, для несобственных вращений характеры для R
и L имеют разные знаки. Эти два трехмерных представления группы вращений
и инверсий часто называют представлениями векторов и псевдовекторов (или
аксиальных векторов).
Теорема Вигнера - Эккарта [формула (4.62)] не имеет отношения к правилам
отбора, она связывает матричные элементы, имеющие одинаковые а, |3 и у и
разные индексы строк i, / и к. Другими словами, она показывает, как
изменяются матричные элементы при замене одной волновой функции другой из
того же вырожденного мультиплета. Так как простые процессы переходов
включают суммиро-
130
Глава 5
вание по всем вырожденным конечным состояниям, эта особенность симметрии
менее существенна. Далее о применении теоремы Вигнера - Эккарта см. гл.
8.
§ 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Говорят, что наблюдаемая величина О сохраняется в данной системе, если ее
среднее значение в любом состоянии системы г|? (г, t) не изменяется со
временем. Эквивалентным является утверждение о том, что если в некоторый
момент времени волновая функция системы совпадает с некой собственной
функцией оператора О, то она будет оставаться собственной функцией
оператора О с тем же собственным зпачением в течение всего времени.
Теперь мы покажем, что оператор О обладает свойством сохраняться, если он
коммутирует с гамильтонианом и не зависит от времени. Имеем
о*) = (й,о*) + (*,о?)-
= {-(Нф, Оф) + (ф, ОНф)}/г^ =
= (ф, [О, Н]ф)/г& = 0 (5.13)
(используя уравнение Шредингера и предполагаемую коммутативность [Н, О)
=0).
Далее, если система обладает некоторой симметрией, то операторы Т (Ga)
любого элемента Ga в группе ? будут коммутировать с гамильтонианом и,
следовательно, будут сохраняться. На первый взгляд это предполагает
существование большого числа сохраняющихся величин, но они не являются
независимыми. Очевидно, что сохранение оператора Т (Gc) связано с
сохранением Т (Ga) и Т(Оь), если GaGb=Gc. Поэтому для каждой группы су
ществует минимальное число сохраняющихся величин, соответствующее
минимальному числу элементов группы, необходимому для вывода всех ее
элементов путем перемножения. Так, для циклической группы, например С3,
существует лишь одна сохраняющаяся величина, ибо по определению
циклической группы все ее элементы получаются возведением в степень
одного-единственного элемента. В группе Dз (гл. 2, табл. 2.5) для
генерирования всех элементов необходимы только два: Ri и R3, и, таким
образом, имеются две независимые сохраняющиеся вели-
Симметрия г кеяптоевй жеханине
131
чины. Для непрерывной трудны Jt2, к&к это будет видно в гл. 7, §3, н. Д,
все элементы можно вывести из одного-единственного оператора.
, Следует всегда помнить, что в силу постулатов квантовой механики только
эрмитовы операторы могут соответствовать физическим наблюдаемым. Таким
образом, для физически наблюдаемой сохраняющейся величины из Т (<За)
требуется построить эрмитов оператор. Далее мы увидим, что только в
случае непрерывных групп эти сохраняющиеся величины соответствуют обычным
классическим понятиям, таким, как импульс или угловой момент.
§ 6. ПРИМЕРЫ
Для иллюстрации следствий симметрии рассмотрим четыре примера,
соответствующие группам симметрии С", Dз, S2 и 3t2. Хотя детально
определять вид волновых функций не требуется (в этом и состоит
преимущество сим-метрийного подхода), можно представить себе, что данные
примеры относятся к движению частицы в поле с потенциалом V(г). Оператор
кинетической энергии у2, будучи скалярным произведением, инвариантен
относительно любого вращения и поэтому во всех четырех примерах остается
неизменным. Потенциал же можно выбрать инвариантным лишь по отношению к
низшим из перечисленных групп вращений. Данный простой случай не такой уж
искусственный - он может соответствовать движению электрона вокруг
атомного ядра. Хотя кулоновское притяжение ядра сферически-симметрично,
можно представить себе, что имеется внешнее поле, понижающее симметрию.
Или же, если атом находится в кристалле, присутствие других атомов
кристалла будет понижать симметрию от Ж" до некоторой конечной группы
вращений.
А. Группа симметрии С3
Для этой группы потенциал V(г) в обозначениях примера 5 из гл. 2, § 2
будет инвариантным относительно поворотов Rx и R2=Rf вокруг тройной оси
z. Группа С* циклическая, три одномерных неприводимых представления <ju),
г(2) и Ti3)) имеющиеся в табл. 4.3. (гл. 4, § 18), можно
132
Глава S
записать в виде
т<а> (RJ = ехр [2я (а - 1) г/3], (5.14)
где а=1, 2 и 3. На основании общих выводов § 3 мы можем заключить, что
собственные состояния должны быть невырожденными, что они могут
классифицироваться в соответствии с индексом а неприводимого
представления и что они обладают следующим свойством:
Т (RJ ф<а> = ехр [2я (а- 1) г/3] ф<а>.
В нашем частном случае одной частицы это означает по определению (3.37),
