Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
базис, векторы которого ф)а) обозначены индексом а неприводимого
представления группы $ и индексом строки представления i. Степень
вырождения определяется размерностью пространства V: она по меньшей мере
равна sa и превышает sa, если пространство V приводимо.
Всем изложенным доказываются следствия, сформулированные в начале
параграфа, но остается пояснить один важный момент. Если представление,
соответствующее пространству V, не является неприводимым, то для
обозначения энергии требуется не один, а несколько индексов а всех
неприводимых представлений, входящих в его разложение. В
действительности, если используется полная группа симметрии, подобная
ситуация встречается крайне редко - настолько редко, насколько редко
встречаются равные собственные значения для произвольной матрицы. Поэтому
употребляют выражения "нормальное вырождение" для неприводимого
представления и "случайное вырождение" для ситуации, когда два или более
неприводимых представлений отвечают одинаковой энергии. Случайное
вырождение возможно при изменении некоторых параметров гамильтониана Н
(таких, например, как напряженность магнитного или электрического поля),
если при определенных значениях этих параметров два обычно невырожденных
уровня пересекаются. Если для некоторого вида гамильтониана в группе
симметрии $ систематически обнаруживается случайное вырождение, то это
обычно объясняется наличием более высокой симметрии. Как мы видели в гл.
4, § 18, неприводимое представление группы Ж в общем случае сводится к
сумме нескольких неприводимых представлений одной из подгрупп. Таким
образом, в группе более высокой симметрии случайно вырожденные уровни
превращаются в компоненты одного-единственного неприводимого
представления. Некоторые хорошо известные примеры этого можно найти в т.
2, гл. 19. Примеры гораздо более важного случая обычного вырождения
приведены в § 6.
128
Глава 5
5 4. ПРАВИЛА ОТБОРА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРОВ
Мы установили, что в системах с группой симметрии % можно
классифицировать собственные функции ф гамильтониана по неприводимым
представлениям группы В гл. 4, § 20 было показано, что если
преобразования, ¦задаваемые оператором 0(а), соответствуют неприводимому
представлению Т(а>, то его матричные элементы, вычисленные для функций,
также преобразующихся по неприводимым представлениям той же группы, имеют
ряд простых свойств. Поэтому ясно, что мы сможем делать некоторые простые
заключения о физически интересных матричных элементах, разлагая операторы
на их неприводимые компоненты. Наиболее удивительный результат
заключается в том, что если процесс перехода задан оператором 0<а), то
переход из некоторого состояния ф<|3> может осуществляться лишь в те
конечные состояния ф(Т), представление которых T<V) содержится в
разложении произведения (4.44)
T(")0T(P)=32wvT<v)-
V
Таким образом, из состояния ф(|3) под действием оператора 0(а) система
может перейти только в те конечные состояния которые преобразуются по
одному из представ-
лений в правой части равенства (4.44). Для других конечных состояний
матричные элементы равны нулю и переход не происходит. Это явление
называется "правилами отбора"; те переходы, которые не могут происходить,
называют "запрещенными". Правило отбора не указывает, что переход будет
наблюдаться, а лишь свидетельствует о том, что он разрешен по симметрии.
В отдельных случаях всегда могут найтись те или иные причины, по которым
отдельные матричные элементы будут равны нулю. Чтобы найти полный
перечень правил отбора, нужно последовательно перебрать неприводимые
представления Т<Р) и определить коэффициенты mv по формуле (4.45),
используя известные таблицы характеров групп симметрии; переход может
происходить при тех у, при которых тпуФ§.
До сих пор мы считали, что переход определяется оператором 0(а),
преобразующимся по неприводимому представлению а. В действительности же
оператор О может
Симметрия в квантовой механике
129
преобразовываться и по приводимому представлению. В этом случае его можно
либо разложить на неприводимые составляющие,
о = 2о<">,
а
и установить переходы, разрешенные для каждой непри-водимой компоненты
отдельно, либо, если нам непосредственно известен характер % (Ga)
"приводимого" представления, определить коэффициенты т,} по формуле
ту = 7 И x(v) (СаТ X (GJ Х<|3> (G")
ё а
вместо формулы (4.45).
Операторы R = (X, Y, Z) электрических дипольных переходов преобразуются
подобно векторам при поворотах и являются нечетными относительно
инверсии. Следовательно, они образуют трехмерное представление любой
группы вращений и инверсий. Для собственного вращения вокруг оси z на
угол 0, согласно формуле (4.6), характер равен просто (2cos 0+1), и,
поскольку след матрицы не зависит от базиса, эта величина является
характером также и для вращения вокруг любой оси. Аналогично для
магнитных дипольных переходов соответствующий оператор L = Vr;Xpj также
является вектором и потому имеет
