Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 38

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 122 >> Следующая

2Т<1)ф2Т(3) (конец § 7).
4.10. Постройте таблицу характеров группы Д4, используя методы § 15.
Покажите, что неприводимое представление, найденное в задаче 4.5,
содержится в этой таблице.
4.11. Покажите, что функция / (х, у)=х2-\~у'г преобразуется по
тождественному представлению группы П4, рассмотренной в задаче 2.3 (ось
четвертого порядка - в направлении z). Найдите для каждого представления
линейную или квадратичную функцию переменных х, у и z, преобразующуюся по
нему.
4.(2. Зная ответ задачи 4.10, определите характер прямого произведения
двумерного представления группы Dt на самого себя и разложите его на
неприводимые представления.
4.13. Координаты х, у некой частицы преобразуются по двумерному
неприводимому представлению Т группы Z>4, так что 4 произведения х^х2,
х2у2, УЛ, У1У2 для двух частиц преобразуются по прямому произведению
представлений Т(Я)Т. Действием проекционного оператора найдите 4
комбинации этих произведений, которые преобразуются по неприводимым
представлениям группы В4. Выпишите коэффициенты Клебша - Гордана.
4.14. Найдите представления группы С4, на которые будут разлагаться
неприводимые представления группы Dv при сведении последней к подгруппе
С4. (Воспользуйтесь результатами задач 4.6 и 4.10.)
4.15. Взяв проекционный оператор (4.51), покажите, что функция я?
преобразуется по представлению Т группы 04. Характеры возьмите из
приложения 1. Далее покажите, что она преобразуется по первой строке
представления Т в базисе задачи
4.5. [Для этого используйте проекционный оператор (4.50).] Наконец, с
использованием проекционного оператора (4.52) и матриц, полученных в
задаче 4.5, постройте функцию, преобразующуюся по второй строке.
5
СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Данную главу мы начнем с обзора основных понятий квантовой механики (§
1). Мы исходим из того, что читатель уже знаком с основами квантовой
механики (см. литературу), и главная цель нашего обзора - напомнить те ее
моменты, которые в дальнейшем будут необходимы для иллюстрации проявлений
симметрии. К изложению последних мы перейдем после того, как в § 2 дадим
строгое определение симметрии. В качестве иллюстрации в § 6 будет
рассмотрено движение частицы в постоянном поле, обладающем различной
простой симметрией: С3, D3, S2 и М2- В конце главы дается представление о
применении симметрии в приближенных методах. Более сложные группы и более
близкие к действительности физические системы будут рассмотрены в
дальнейших главах книги, но все важнейшие следствия симметрии
квантовомеханических систем рассматриваются в данной главе.
§ 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В квантовой механике поведение системы с п степенями свободы, описываемой
некоторым набором координат (гх, г2, . . . , гп)-т, полностью
определяется ее волновой функцией, или вектором состояния, ф(г, t). Для
всякой пары г и ! эта волновая функция принимает некоторые, вообще
говоря, комплексные значения. Действительная величина |ф(г, t)\HV
интерпретируется как вероятность того, что в момент времени t координаты
системы имеют значения, лежащие внутри элемента объема dV возле точки г.
Поэтому волновая функция должна быть нормирована так, чтобы полная
вероятность нахождения системы в каком-либо положении равнялась единице,
т. е.
Симметрия в квантовой механике
121
выполнялось равенство
?|ф(г, о 1*^ = 1. (5.1)
в котором интеграл берется по всем значениям координат.
Волновые функции находят, решая уравнение Шредингера
Н (г, 0Ф(Г> t)=ifl^Vp{г, t), (5.2)
в котором Н (г, t) - оператор Гамильтона, или гамильтониан,
соответствующий классической функции Гамильтона Н~Т-\-У, где Т -
кинетическая и V - потенциальная энергии. Для получения
квантовомеханического оператора из соответствующего классического аналога
существуют определенные правила, например декартова координата х частицы
заменяется оператором х, а сопряженный момент рх заменяется оператором -
ih (д/дх). Граничные условия, налагаемые на дифференциальное уравнение
(5.2) (например, обращение в нуль функции ф на границах системы),
являются достаточными для того, чтобы в любой момент времени t функция ф
(г, t) была однозначно определена уравнением (5.2), если в момент времени
t0 известна функция ф(г, t0).
Во многих важных задачах квантовой механики используется не зависящий от
времени гамильтониан. В таких случаях из самого уравнения (5.2) явствует,
что существуют решения, для которых зависимость от времени определяется
множителем
фя(г, f) = 'Mr) exp (-iEt/%), (5.3)
где фЕ(г) - решение (собственная функция) не зависящего от времени
уравнения на собственные значения
Нф?(г) = ?ф?(г), (5.4)
а Е - соответствующее собственное значение. Бесконечный набор собственных
функций фв(г) есть полный набор в том смысле, что любую непрерывную
функцию с теми же граничными условиями можно разложить в бесконечный ряд
по функциям фЕ(г). Следовательно, любое решение уравнения Шредингера
может быть представлено в виде
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed