Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вого приближения, обусловленную возмущением Нх, мы должны взять пробную
функцию типа (5.20) как линейную комбинацию вырожденных состояний. Из
изложенного в § 7 явствует, что энергетические сдвиги определяются
собственными значениями матрицы Н, в базисе ф"г.
Теперь предположим, что в разложении (5.24) гамильтониан Н0 принадлежит
более высокой группе симметрии So, а Нх имеет более низкую группу
симметрии Sx, являющуюся) лишь подгруппой группы So. Разумеется, полный
гамильтониан тоже принадлежит группе симметрии Будем рассматривать
случай, когда Hi - малое возмущение, которое существенно не влияет на Н0,
так что функции, соответствующие разным энергетическим уровням оператора
Н0, не смешиваются. (Математически
мы требуем выполнения условия | -Ет\.)
Если имеется некоторое заданное собственное значение энергии Еп
гамильтониана Н0, то, согласно сказанному в § 3, его собственные функции
будут базисными функциями ф)"' некоторого неприводимого представления
Т(а) группы S0 и уровень будет ""-кратно вырожденным. Интуиция
подсказывает нам, что влияние гамильтониана Нх должно приводить к снятию
этого вырождения, так как группа Sx может не иметь неприводимого
представления размерности sa и поэтому не будет иметь собственных
состояний с вырожденностью sa. Пространство //"' собст-
Симметрия в квантовой механике
141
венных функций уровня Еп по отношению к подгруппе
будет распадаться на подпространства, неприводимые относительно 5Jt, т.
е. в соответствии с обозначениями гл.
4, §18
?"*>== * (5.25)
Ob, q
Индекс q служит для обозначения пространств, которые преобразуются по
эквивалентному неприводимому представлению Т(а) группы <§1. Далее по
таблице характеров для групп и <§1 нетрудно определить, какие индексы а
группы входят в формулу (5.25) для данного представления Т(СО группы #"•
А. Примеры
Примеры такого анализа были даны в гл. 4, § 18 для перехода D3 -у С3.
Было показано, что двумерное представление Т,3) группы D3 сводится к
сумме двух одномерных представлений С3. В действительности, однако, этот
частный случай понижения симметрии обычно не приводит к расщеплению
энергетического дублета, так как два представления группы, являясь
комплексно-сопряженными, имеют одинаковую энергию в случае
действительного потенциала V(г) (или, в более общем случае, для любого
инвариантного относительно обращения времени гамильтониана; т. 2, гл. 15,
§ 7, п. Г).
При понижении симметрии типа Ж2 -у С3 вырождение также не снимается,
поскольку представления группы Ж2 не вырождены. В этом случае состояния,
которые при симметрии 5?2 обозначались индексами т=0, ±1, ±2, . . . , при
симметрии С3 будут обозначаться индексами т=0, ±1 с прибавлением или
вычитанием любого числа, кратного трем.
Чтобы найти более интересный пример, нужно перейти к более сложной
группе. Группа октаэдра О (гл. 9, § 3, п. А) имеет трехмерное
неприводимое представление Тх, и при переходе к подгруппе D3 можно из
таблицы характеров (приложение 1) увидеть, что оно приводится к двум
неприводимым представлениям Т1=А20Е группы Ъ3 с размерностью 1 и 2. Таким
образом, при включении возмущения симметрии D3 трижды вырожденный уровень
Т%
142
Гла"а 5
гамильтониана группы симметрии О будет расщепляться на уровень Аг и
дублет Е. Другие аналогичные примеры приведены в гл. 9, § 9. п. Б в связи
с расщеплением атомных уровней в кристаллическом поле.
Б. Величина расщепления
Таблица характеров дала нам возможность установить характер расщепления
вырожденных уровней, но она ничего не говорит ни о величине расщепления,
ни даже о порядке возмущенных уровней. Полагая, что волновые функции
невозмущенных уровней известны, эти характеристики расщепления можно
найти, вычислив матричные элементы "возмущающего" гамильтониана Hi и,
если это необходимо, диагонализовав малую матрицу (§ 7). Как мы сейчас
покажем, учет симметрии при выборе базиса матрицы и в этом случае
упрощает расчет.
Из сказанного в конце предыдущего параграфа явствует, что в соответствии
с разложением (5.25) матричные элементы возмущающего гамильтониана Hi
между функциями, преобразующимися по неэквивалентному неприводимому
представлению Т(а), равны нулю и что в пределах набора функций ф)а) с
г=1, 2, ... , матрица Нх кратна единичной. Если какое-либо представление
Т(а) в разложении (5.25) встречается только один раз, то, чтобы найти
энергетический сдвиг, обусловленный возмущением Hi, нужно вычислить лишь
среднее значение
(фГ>, Нрф?') (5.26)
для любой строки г. Если волновые функции невозмущенного уровня заданы в
произвольном базисе, то найти возмущенные волновые функции ф)а> можно с
использованием проекционного оператора''(4.50) или, в данном случае, с
помощью более'простого оператора (4.51). Затем можно прямо вычислить
энергетический сдвиг (5.26). Если в разложении (5.25) представление Т(а>
встречается более одного раза, скажем раз, то тогда будут существовать-
т.~, линейно-независимых фупкций типа ф)а), которые можно обозначить
