Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
через где <7=1, 2, ... , т^.'В общем случае' возмущение Н, будет иметь
между функциями
Симметрия в квантовой механике
Ш
этого набора ненулевые матричные элементы, и энергетические сдвиги можно
найти путем построения матрицы размера т$ Хт& в некотором удобном базисе
и ее последующей диагонализации. Базисные функции снова находятся с
использованием проекционного оператора (4.50), действующего на волновые
функции невозмущенного вырожденного мультинлета. Применение общего
метода, изложенного здесь, мояшо найти в гл. 8, § 5.
§ 9. НЕРАЗЛИЧИМОСТЬ ЧАСТИЦ
В классической механике может существовать система идентичных частиц,
которые тем не менее можно различать между собой. Можно мысленно как-то
выделить из них одну частицу в некоторый момент времени, а затем
проследить ее путь. В квантовой же механике движение частицы описывается
только волновой функцией, так что говорить о ее определенной траектории
нельзя (принцип неопределенности). Поэтому в квантовой механике
идентичные частицы неразличимы в том смысле, что если мы наблюдаем одну
из них, то невозможно сказать, какая это частица. Математически
утверждение неразличимости выражается в том, что все наблюдаемые величины
представлены операторами, симметричными относительно перестановки частиц.
Гамильтониан системы п взаимодействующих частиц должен быть инвариантным
относительно перестановок, а поэтому группа всех перестановок of п (гл.
2, § 2, пример 10) является группой симметрии системы. Если не считать
малых значений п, то имеется много разных неприводимых представлений
группы Ifn, которые мы оставим до т. 2, гл. 17. Но если некоторое
собственное состояние принадлежит неприводимому представлению Т(а> группы
аРп с размерностью sa>l, то вследствие симметрии всех физических
операторов мы должны иметь вырождение, которое совершенно ненаблюдаемо.
Никакой физический оператор не может привести к расщеплению уровней или
индуцировать какие-либо переходы из одного вырожденного состояния в
другое. В природе столь причудливая ситуация, по-видимому, не возникает.
Опыт показывает, что единственными встречающимися представлениями труп-
144
Глава 5
пы <if п являются два одномерных представления, соответствующие полностью
симметричным или полностью антисимметричным состояниям. (Первое из них
есть тождественное представление, и соответствующее состояние ф8
удовлетворяет условию Pips^^s Для всех перестановок Р. Антисимметричное
состояние фА обладает свойством Рг/Фл:=-Фл Для всех нар г/, где Рг;
обменивает местами частицы i и /, оставляя осталыхыо частицы без
изменения.
, Подробно мы остановимся на этих представлениях в т. 2, гл. 17, § 4.) К
примеру, вся теория атомного строения, включая интерпретацию
периодической системы элементов, рухнула бы, убери мы из нее
предположение об антисимметричности волновых функций электронов. В общем
случае установлено, что частицы с целым спином имеют полностью
симметричные волновые функции, тогда как частицы с полуцельтм спином
имеют полностью антисимметричные волновые функции. В последнем случае
очевидно, что любые две идентичные частицы не могут находиться в одном и
том же одночастичном состоянии - эта закономерность носит название
принципа Паули. Частицы, описываемые симметричными волновыми функциями,
называют "бозонами", а антисимметричными - "фер-мионами", подразумевая,
что они удовлетворяют статистикам Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.
Вт. 2, гл. 16, §3,п. Г мы рассмотрим теорему о статистиках спина, в
которой на основе очень общих теоретических посылок делается заключение о
том, что частицы с полуцелым спином не могут описываться симметричными
волновыми функциями, а частицы с целым спином не могут иметь
антисимметричных волновых функций. Эта теорема согласуется со сказанным
выше, но не исключает существования для частиц с целым или полуцелым
спином представлений со смешанной симметрией. Действительно,
высказывались гипотезы (гл. 12, § 3), что все еще необнаруженные кварки
принадлежат представлениям со смешанной симметрией (случай так называемой
парастатистики).
В заключение заметим, что если "нумерация" частиц не является физически
наблюдаемой, то можно построить квантовую механику и не вводя ее. На
практике это делается так называемым методом "чисел заполнения" или
"вторичного квантования" (т. 2, гл. 16, § 3, п. А). Но во многих задачах
подобную нумерацию вводить удобно (как
Симметрия в квантовой Механике
145
это мы уже сделали) лишь для того, чтобы определить симметричность или
антисимметричность волновой функции, зная при этом, что подобная
нумерация не имеет физического смысла.
§ 10. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ П ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Если ф (г, t) есть зависящее от времени решение уравнения Шредингера
(5.2) с действительным гамильтонианом, не ^зависящим от времени, то из
этого уравнения прямо следует, что решением является и функция ф (г, t) =
=ф*(г, -t). Другими словами, если функция ф(г, t) описывает возможное
