Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что
ф(") ^ф--^ = ехр [2я (а - 1) г73]ф<а> (ф), (5.15)
где ф - обычный полярный угол поворота относительно оси z. (Мы могли бы
получить этот результат без непосредственного использования теории групп,
отметив, что гамильтониан Н коммутирует с оператором t(Ri) поворота
вокруг тройной оси п, следовательно, собственные состояния гамильтониана
Н можно выбрать так, чтобы оператор t(R,) был диагональным. Этим
состояниям можно приписать индексы собственных значений t(Ri), задаваемые
формулой (5.14). OnepaTopT(Rj) по отношению к группе Сз представляет
собой сохраняющуюся величину, но он не имеет простого физического
смысла.)
Яснее свойства симметрии функций, удовлетворяющих равенству (5.15), видны
из выражения
ф(") (Ф) = иа (ф) ехр [-г (а- 1) ф], (5.16)
где иа (ф) - периодическая функция переменной ф с периодом 2я/3. Это
можно проверить подстановкой выражения (5.16) в формулу (5.15):
иа (ф - (2л/3)) ехр {-г (а - 1) [ф - (2я/3)]} =
= ехр [2л (а- 1) г/3] иа (ф) ехр [-г (а - 1) ф],
т. е.
"<*(ф-у-)=Ыа(ф)- (5.17)
Формула (5.16) дает функцию ф<а) (ф) при всех ф, если она известна в
интервале 0^Гф<2л/3. Таким образом, сообра-
Симметрия $ кеантоеой механике
133
жения симметрии привели к заключению, что для решения уравнения
Шредингера в системе симметрии С3 необходимо решить лишь эквивалентное
уравнение для иа(ф) в интервале 0^Гср<2я/3 с периодическими граничными
условиями.
Рассмотрим теперь правила отбора для электрических дипольных переходов
между собственными состояниями ф(а) (ф). Для света, поляризованного вдоль
оси z, соответствующий оператор равен ez (§ 1). Очевидно, что он
инвариантен относительно поворотов вокруг тройной оси и, следовательно,
принадлежит тождественному представлению т(1>. Поскольку произведение
представлений т(1)(5?) g)tw=Tw, этот оператор может вызывать переходы
лишь между состояниями, принадлежащими одному и тому же неприводимому
представлению с индексом а. Для света, поляризованного в плоскости ху,
соответствующий оператор есть комбинация х и у. Так как a:±ii/=rsin0exp
(±гф), из сравнения с (5.16) следует, что этот оператор преобразуется в
соответствии с комбинацией представлений т<2) и т<з)> л3 табл- 4_з мы
находим, что произведения представлений дают т(1)(5?)г(2)=т<2), т(2)
(5?)т<2)=т13), т<2)(5?) (g)T(3,='T<1> ит(3)0гм=т1!|. Следовательно,
разрешенными переходами для света, поляризованного в плоскости ху,
являются переходы (1) <-" (2), (1) (3) и (2) (3), т. е.
возможны все переходы с изменением индекса а.
Б. Группа симметрии />.,
Эта группа была рассмотрена в гл. 2, § 2 (пример 6), и в данном случае
потенциал инвариантен относительно поворотов вокруг тройной оси z и
вокруг двойных осей в плоскости ху. Характеры представлений группы D3
даны в табл. 4.2. Собственные состояния являются либо невырожденными с
а=1 или 2, либо дважды вырожденными с а=3. Состояния 1р(1) будут
инвариантными относительно всех операций группы. Состояния ф(2)
инвариантны относительно поворотов Rj и R2 вокруг тройной оси, но
изменяют знак при поворотах R3, R4 и R5 вокруг двойных осей. В общем
случае пары состояний ф[3) и гр23) будут смешиваться под действием
операций группы.
Найти правила отбора для электрических дипольных переходов можно довольно
просто. Соответствующий one-
134 Главе 5
ратор 0=eR есть вектор с характером 2 cos 9 + 1 (§4), так что из
приведенной ниже таблицы характеров группы Ds (табл. 5.1) мы видим, что
он преобразуется как Т(2)0
Таблица 5.1
Из #l(E) $2(R,, R.) #3 (Кз. R4. R5>
ТО) Т(2) Т") 1 1 1 1 2 -1 1 -1 0
О О0Т'П О0к2> О0Т<3> 3 0 3 0 3 0 6 0 -1 = т<2> (c) т<3> _1 =т<2'(c)т<3> 1
= ТШ0Т<3> 0 = 2T<3) (c) T(2) (c) T(1)
0Т<3). Отсюда мы делаем вывод, что разрешены следующие переходы: Т(1)<-
>Т(2), Т(1)ч-"Т(3), Т(2)<-"Т<3> и Т(3)<-"Т(3>, тогда как переходы . Т(1)
Т(1> и Т(2> Т(2) запрещены.
Аналогичным образом разлагая О на компоненты Т<2) (вдоль оси 2) и Т13) (в
плоскости ху), мы можем сделать вывод, что в случае поляризованного света
разрешены следующие переходы:
f 1) поляризация вдоль г: Т(1) Т<2), Т<3) Т(3);
2) поляризация в плоскости ху: Т(1) Т(3), Т(2) Т(3),
Т(3) <-> Т<3).
В. Группа симметрии $2
[ Эта очень простая группа (гл. 2, § 2, пример 4) содер-
жит лишь единичный элемент и инверсию I, причем 12=Е.
Она имеет два одномерных неприводимых представ-
ления: тождественное представление Т11) и представление
Т(2), в котором инверсии соответствует -1. Собственные
состояния гамильтониана, инвариантного относительно инверсии, будут,
следовательно, принадлежать представ-
лению Т(1> или Т12'. Соответственно этому они называются четными или
нечетными и часто обозначаются знаками ±. Поскольку представления
одномерны, вырождение отсутствует. Правила отбора получаются очень просто
' Симметрия • квантовой механике
135
из правил умножения Т(1) 0 Т(а)-Т(а) и Т(1) 0 Т(1) = =Т(2)0Т|!)=Тш. Таким
образом, нечетный оператор, например оператор электрического дипольного
момента, требует, чтобы начальное и конечное состояния различались по
