Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
четности, тогда как оператор магнитного дипольного момента допускает
переходы лишь между состояниями с одинаковой четностью.
Г. Группа симметрии 5?2
Группа 5? 2 - это непрерывная группа всевозможных вращений вокруг оси z,
так что потенциал F(r), если он инвариантен относительно операций этой
группы, должен зависеть лишь от г и 0. Элементы группы R(a) и оператор Т
(R (а)) определены по формуле (3.37) таким образом, что при действии
оператора на волновую функцию отдельной частицы мы имеем Т(R(а))гр(г, 0,
ф)=ф (г,0, ф-а). При таком подходе переменные г и 0 роли не играют, и мы
можем их опустить. Используя разложение в ряд Тэйлора, можно написать
ф(ф - а) = ф(ф) - а~-ф(ф)-|-1а2^ф(ф)+ . .. =
== ехр ^(Ф),
так что оператор Т (R (а)) можно выразить в явной форме как
T(R(a)) = exp а-^). (5.18)
Экспоненциальный вид оператора следует понимать как сокращенное
обозначение соответствующего ряда. Поэтому очевидно, что единственный
оператор д/д<р генерирует все повороты относительно оси z.
Поскольку элементы группы коммутируют, группа является абелевой и,
следовательно (гл. 4, §8), неприводимые представления должны быть
одномерными. Подробнее мы рассмотрим неприводимые представления группы
5?2 в гл. 7, § 3, но уже из выражения (5.18) ясно, что функции вида
a|)(m> (ф)=Л ехр(?/жр), где т - любое целое число, могут быть базисными
векторами одномерных неприводимых представлений, определяемых
соотношением Т(В!) (R (а)) = ехр (-ima). Выбирая действительный индекр
136
Глава 5
тп, мы делаем оператор Vm) унитарным, а при целых m убеждаемся в
непрерывности функции г[;(и) (ф) при изменении ф в пределах 2я.
Правила отбора для электрических дипольных переходов можно найти, если
заметить, что величина z инвариантна относительно всех вращений вокруг
оси z и, следовательно, принадлежит представлению с пъ=0. Для света,
поляризованного в плоскости ху, зависимость от ф соответствующего
оператора, как и в предыдущем примере, дается комбинацией ехр(йр) с ехр(-
?ф) и, следовательно, является суперпозицией представлений с m-1 и m=-1.
Правило для образования произведений представлений группы Si2 особенно
простое, так как
T(m) (R (a)) (x)T(m'> (R (а)) = охр (-ima - im'a)=(R(a)).
Таким образом, свет, поляризованный вдоль оси г, индуцирует переходы, при
которых величина т не изменяется (Д7?г=0), тогда как свет, поляризованный
в плоскости ху, индуцирует переходы, при которых величина т изменяется на
единицу (Дт=±1).
На основании сказанного в § 5 можно попытаться установить закон
сохранения в случае симметрии Si2, если оператор поворота (5.18) можно
преобразовать в эрмитов оператор. Легко видеть, что таким оператором
может быть оператор д!д($, умноженный на I. Действительно, если мы
напишем Zz =-i(d/dф) и перейдем к декартовым координатам , то получим
1* = (* Ту-У ш) = (хру - УР*УЬ (5-19)
где рх=-ihdldx - обычное квантовомеханическое выражение для импульса. Это
означает, что сохраняющейся величиной lz является угловой момент
относительно оси г. В собственных состояниях Tj?tOT) (ф) оператор lz
имеет собственные значения т.
§ 7. ТЕОРИЯ ГРУПП И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
В большинстве реальных физических задач квантовой механики уравнение
Шредингера не может быть решено точно ввиду его математической сложности,
особенно если рассматривается большое число частиц. В таких случаях
Симметрия в квантовой механике
137
при нахождении приближенного решения для основного состояния, а также,
когда возможно, нескольких первых возбужденных состояний часто пользуются
вариационным методом. Сущность метода заключается в том, что строят
сравнительно простую нормированную пробную функцию ф, которая содержит
ряд варьируемых параметров, и вычисляют среднее значение гамильтониана
(ф, Нф). Можно показать, что при любых значениях параметров оно дает
верхнюю границу энергии основного состояния. Минимизируя это среднее
значение по переменным параметрам волновой функции, мы найдем минимальную
верхнюю границу, возможную при выбранной форме пробной функции. С
увеличением числа варьируемых параметров среднее значение (ф, Нф) будет
все точнее соответствовать энергии основного состояния, а пробная функция
ф - приближаться к волновой функции основного состояния. Затем выбирают
пробные функции, ортогональные к функции основного состояния, и получают
таким же образом приближения к первому возбужденному состоянию и т. д.
Если система обладает симметрией, то, не прибегая к расчетам, можно
сказать, что под действием операций симметрии группы ее собственные
функции преобразуются по неприводимым представлениям. Этим можно
руководствоваться при выборе пробной варьируемой функции, отбрасывая
функции, которые состоят из компонент, преобразующихся по разным
неприводимым представлениям. Более того, в общем случае можно сказать,
что физическая система, существующая за счет сил притяжения между своими
компонентами, имеет основное состояние с максимальной симметрией.
Математически это означает, что основное состояние должно
