Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4.) В атоме, где все Z электронов имеют одинаковый заряд, эти выражения
упрощаются до -ZeR и -(e/2Mc)h, где R - радиус-вектор центра масс, a L -
полный угловой момент. Оба этих оператора входят в выражение для
энергетических возмущений и вероятностей перехода в квантовой системе. В
частности, энергетический сдвиг, обусловленный однородным магнитным полем
В, равен eh •'Ы2Мс. При переходах в атомах существен в основном
электрический дипольный момент, и в случае неполяризованного излучения
вклад будут вносить все три компоненты вектора R. При поглощении же
поляризованного света существенными оказываются лишь некоторые компоненты
вектора R. Например, в случае так называемого плоскополяризованного света
направление электрического поля задается вектором р, перпендикулярным
направлению пучка света. Соответствующим оператором в этом случае
является компонента вектора R в направлении р, и свет называют
поляризованным в направлении р.
Симметрия в квантовой механике
125
§ 2. СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ СИСТЕМЕ
Рассмотрим систему, характеризуемую не зависящим от времени
гамильтонианом Н (г) с произвольной волновой функцией ф(г), не
обязательно являющейся его собственной функцией. Как и в предыдущем
параграфе, вектор г в пространстве координат описывает п степеней свободы
системы. Любая группа Ъ преобразований координат Gar=r' будет задавать
соответствующий набор индуцированных преобразований Т (Ga) в пространстве
волновых функций в соответствии с определением (3.37):
Т (GJ ф (г) =*|/ (г) = ф (G~]r).
Согласно формуле (3.24), ею определяется также трансформированный
оператор Гамильтона T(GJHT-1 (GJ = H'. Если гамильтониан инвариантен при
этих преобразованиях, т. е. если
Г(Оа)НТ-ЧОа) = Н (5.Ю)
для всех элементов Ga группы то группу 'З называют группой симметрии
гамильтониана. Вскоре мы увидим, что существование группы симметрии
приводит ко многим важным следствиям. При умножении справа на Т условие
(5.10) приобретает эквивалентную форму Т (Ga) Н - -HT(GJ=0, или [T(Ga),
Н] =0, т. е. гамильтониан коммутирует со всеми индуцированными
преобразованиями группы.
Элементы Ga группы симметрии называют элементами симметрии. Практически,
определив один-два элемента симметрии гамильтониана, обычно можно
построить всю группу симметрии, перемножая эти элементы и возводя их в
степень до тех пор, пока не перестанут появляться новые элементы
симметрии. [Из равенства (5.10) сразу же следует, что произведение двух
элементов симметрии дает новый элемент симметрии.] Однако довольно трудно
удостовериться в том, что найдены именно все элементы симметрии данного
гамильтониана, а не просто элементы подгруппы полной группы симметрии.
При многих преобразованиях, таких, как повороты, отражения и трансляции,
оператор кинетической энергии инвариантен, так что условие инвариантности
гамильтониана сводится здесь к следующему условию, налагаемо-
126
Глава 5
му на функцию потенциальной энергии V:
F(r)=F(Gar). (5.11)
Выше мы дали достаточно строгое определение индуцированного
преобразования, но можно представить себе и йолее абстрактный набор
преобразований Т (Ga) в функциональном пространстве, которые не связаны с
преобразованиями координат, но тем не менее удовлетворяют групповым
аксиомам и, следовательно, определяют некоторую группу симметрии.
§ 3. ВЫРОЖДЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ПО СИММЕТРИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Первые два следствия существования группы симметрии '§ гамильтониана
тесно взаимосвязаны, и мы рассмотрим их вместе. Сначала мы их
сформулируем, а затем покажем, как их можно вывести.
1. Собственные функции ф и собственные значения Е гамильтониана Н можно
классифицировать по неприводимым представлениям Тга> группы симметрии Ъ и
обозначать через ф(а) и Ет.
2. Энергетический уровень Ei!X) должен быть по меньшей мере ""-кратно
вырожден, если sa - размерность соответствующего представления Т<а>.
Для вывода этих следствий вначале отметим, что набор всех вырожденных
собственных функций, соответствующих некоторому данному собственному
значению Е, образует векторное пространство F. (Если функции ф и ф обе
соответствуют энергии Е, то любая их линейная комбинация тоже
соответствует энергии Е.) Далее докажем, что пространство F должно быть
инвариантным по отношению к преобразованиям T(Ga), индуцированным группой
Ъ. Чтобы продемонстрировать инвариантность, достаточно определить обычным
образом трансформированную функцию ф'=Т (Оа)ф, и тогда получим, что если
ф есть собственная функция оператора Н с энергией Е, то ф' - тоже
собственная функция оператора Н с энергией Е, так как
Нф' => НТ (Ga) ф => Т (GJ Нф =? ЕТ (GJ ф = Яф\ (5.12)
{Здесь мы использовали формулу (5.10).] Таким образом, представление
группы симметрии осуществляется в векторном пространстве F через
преобразования Т (Ga).
Симметрия в квантовой механике
127
Это представление либо является неприводимым, либо может быть приведено к
своим неприводимым компонентам, так что в любом случае можно выбрать в V
