Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ri((a),!"a в другой - все несобственные вращения IRt(a). Каждая такая
пара классов соответствует двум классам группы инверсии: Е и I. Другой
наш пример - группа Dsh - содержит шесть классов, соответствующих
комбинациям трех классов группы Da и двух классов (Е и и*) группы <?!•
§ 9. ТЕОРЕМА О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ ГРУПП
Докажем одно простое свойство групп, называемое теоремой о перечислении,
которым мы будем часто пользоваться в дальнейшем. Теорема утверждает, что
если Ga - некоторый фиксированный элемент группы #, а элемент Gb
пробегает всю группу, то произведение Gc=GbGa также пробегает всю группу,
причем каждый из элементов группы появляется один и только один раз. Для
доказательства вначале заметим, что при любом заданном Gc из условия Gb =
GcGa1 следует равенство Gt=GbGa (элемент Gq1 обязан существовать по
определению группы). Далее можно утверждать, что два разных элемента G6 и
G'b не могут порождать один элемент Gc, ибо отсюда следовало бы равенство
Gc = GbGa = GbGa,
так что, умножив на Ga\ мы получили бы Gb~Gb. Тем самым теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Элементарное, хотя математически более строгое, рассмотрение групп и
родственных им объектов можно найти в книге
Green J. A. Sets and Groups, Routledge and Kegan Paul, London, 1965.
Группы и их свойства
39
Дополнительная литература х)
Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторы е ее приложения.-
М.: Наука, 1975.
ЗАДАЧИ
2.1. Покажите, что в групповой таблице умножения каждый элемент
появляется в каждой строке и каждом столбце один и только'один раз.
2.2. Покажите, что элементы Е, Р4 и Р5 группы ?f3 (обозначения- как в §
2, ирямерНО) образуют подгруппу, изоморфную группе С3. <**
2.3. Обобщением примера 6 (§ 2)"является группа собственных совмещений
(вращений) плоского квадрата - группа * ?>4. Постройте таблицу умножения
этой группы и разбейте ее элементы по классам.
2.4. Пусть {Sj, S2, ..., S"} - подгруппа группы <§ порядка g. Правым
смежным классом всякого элемента G; группы g называется совокупность
элементов ^TGi={S1Gi, S2G,-, ..., S"G,}. Аналогичным способом
определяется левый смежный класс. Покажите, что если элемент G,-
принадлежит группе of, то смежный класс тождественно совпадает с группой
,'f. Покажите, что если G/ не входит в группу 'f. то смежный класс не
содержит элементов, общих с группой if. Исходя из этого покажите, что
всякие два правых смежных класса if либо совпадают, либо не имеют общих
элементов. В заключение докажите, что порядок подгруппы п обязан быть
целым делителем порядка g группы <§ и что для данной группы всегда
найдется такой набор из g/n элементов G; группы <§, что всякий элемент
группы' g можно будет записать в виде SpG[ (так называемая теорема
Лагранжа).
2.5. Найдите классы группы if3 всех перестановок трех элементов, не
пользуясь при этом понятием изоморфизма (§ 7, п. "В"),
2.6. Постройте группу, перемножая следующие элементы: а) поворот R на
угол л вокруг оси z; б) отражение в плоскости ху. Покажите, что такая
группа состоит из четырех элементов, найдите классы сопряженных элементов
и запишите группу в виде прямого произведения.
2.7. Докажите, что группа ?>", порождаемая вращениями я/3, 2я/3,...
вокруг оси z и поворотом на 180° вокруг оси х, есть прямое произведение
D3X С2, причем главной осью групп D3 и С2 является ось z. Разбейте
элементы на классы сопряженных элементов.
х) Добавлено при переводе.- Прим. ред.
3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В приложениях теории групп к исследованию симметрии интерес представляет
не структура самих по себе групп, а превращения и изменения, которые
индуцируются в тех или иных "объектах" элементами групп. Объектами в
общем случае будут либо координаты составных частей некоторой физической
системы, либо, как в квантовой механике, некие функции этих координат. В
том и другом случае наши объекты можно рассматривать как векторы в
некотором пространстве. Задачей данной главы и является общее, а потому
довольно абстрактное изложение свойств векторов и их преобразований. Со
многими из разбираемых здесь положений читатель наверняка уже
сталкивался, когда речь заходила о векторах в обычном трехмерном
пространстве, и еще, быть может, в начальном курсе линейной алгебры и
теории матриц. Поэтому для многих данная глава будет носить характер
повторения, но не следует относиться к ней слишком беспечно, ибо на ее
основе, идеях и терминологии целиком построена следующая глава, в которой
мы рассмотрим все важнейшие моменты теории ' групп. В данной главе теория
групп не используется. Изучение преобразований, индуцируемых в векторном
пространстве элементами групп,- задача гл. 4.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ векторные пространства
Вектор - это весьма общее понятие. Мы можем представить себе просто
вектор в трехмерном пространстве, задающий положение одной частицы
относительно начала координат. Для А частиц потребуется 3А координат, и
их можно рассматривать^какХ координаты некоторого вектора в ЗА-мерном
