Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
также что ф (ж)=с2ф (х), откуда с2=1, с=±1. Таким образом, ф (х) является
либо четной, либо нечетной функцией, но не может быть чем-либо другим.
Характеристику с называют четностью функции ф (х). Если имеется
вырождение, то мы не можем сказать, что ф(-х)=е§{х). Но в этом случае в
качестве пары вырожденных собственных функций можно выбрать линейные
комбинации {ф(ж)±ф(-х)}/У2, одна из которых будет четной, а другая -
нечетной. (Можно показать, что в одномерном случае вырождения не бывает,
но в трехмерном случае, на который легко обобщить сказанное выше,
вырождение возможно.)
На данном примере можно рассмотреть еще одно следствие симметрии, а
именно понятие "правил отбора" в квантовой механике. Вероятность перехода
системы из некоторого начального состояния фг в конечное состояние ф^
пропорциональна квадрату интеграла
00
1 = $ %* (х) 8 (х) Ф/ (х) dx>
- со
где вид множителя g(x) зависит от способа перехода. Если подынтегральное
выражение нечетно, то интеграл,
Введение
19
очевидно, обращается в нуль. Следовательно, если g(x) - четная функция
аргумента х, то интеграл отличен от нуля только тогда, когда функции фг и
ф/ либо обе четны, либо обе нечетны, т. е. "четность" исходного и
конечного состояний одинакова. Если же g(x) - нечетная функция, то
начальное и конечное состояния должны иметь разную четность. Если
интеграл / = 0, то и вероятность перехода равна нулю - отсюда и выражение
"правило отбора".
Е. Поиски симметрии, физика элементарных частиц
При изложении теории симметрии в физике вполне естественно анализировать
следствия существования той или иной симметрии, но при этом всегда
следует помнить, что в эксперименте мы наблюдаем следствия и лишь затем
выясняем, какая симметрия может их вызывать. Такой процесс поиска -
двусторонний, как и бывает обычно при разработке физической теории.
Экспериментальные данные указывают на возможные типы симметрии;
анализируя следствия симметрии, делают предсказания, для проверки которых
проводят новые эксперименты.
Прекрасный пример такого метода исследований дает нынешняя физика
элементарных частиц. Массы нейтрона и протона почти одинаковы, то же
наблюдается и для я+-, п~- и эт°-мезонов. Подобные мультиплеты характерны
даже для всех наблюдаемых элементарных частиц. Поскольку масса
релятивистски связана с энергией, существование массовых мультиплетов
свидетельствует о симметрии фундаментального гамильтониана. Так как
различные составляющие мультиплета заряжены по-разному, симметрические
операторы должны, по-видимому, включать преобразования "зарядовых
координат" частиц. Развитие этой идеи привело к концепции "изоспина",
чрезвычайно важной для интерпретации как структуры ядра, так и свойств
элементарных частиц (гл. 10).
С возрастанием энергий современных ускорителей в последние годы
обнаруживается все больше элементарных частиц. Некоторые зарядовые
мультиплеты, о которых говорилось выше, по-видимому, имеют одинаковую
массу. Кроме того, было постулировано существование и больших
мультиплетов. Это в свою очередь потребовало наличия симметрии более
высокой, чем описываемой изоспином. Ее назвали симметрией SUs -
обозначение
20
Глава 1
¦будет объяснено в гл. 11. К сожалению, S?/3-мультиплеты ¦обнаруживают
значительное расщепление, что свидетельствует о более низкой симметрии
некоторых существенных членов гамильтониана (подобно тому как для атома
зеемановское расщепление говорит о снятии сферической симметрии в
магнитном поле).
§ 3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выше были приведены примеры самых разнообразных физических систем, и во
всех случаях к ним применима одна и та же общая теория симметрии.
Перечислим еще раз самые важные следствия существования симметрии в
квантовомехапических системах: 1) законы сохранения; 2) энергетическое
вырождение; 3) "простота" преобразования собственных функций при
операциях симметрии и существование для них симметрийного индекса, не
зависящего от частного вида гамильтониана; 4) правила отбора; 5)
соотношения между матричными элементами наблюдаемых величин. Конечно, не
все эти следствия могут наблюдаться в случаях простой симметрии.
В предыдущих примерах мы так или иначе рассмотрели все эти проявления
симметрии, кроме п. 5. Здесь мы не будем на этом останавливаться, но
последнее следствие наблюдается при зеемановском расщеплении атомных
уровней. Энергетический сдвиг разных состояний в любом данном мультиплете
пропорционален их угловому моменту по отношению к направлению поля, и это
не зависит от детальной структуры волновой функции. Таким образом, в
данном примере матричные элементы достаточно просто связаны друг с
другом, хотя их абсолютные значения вычислить, вообще говоря, трудно.
Другим примером следствия 5 могут служить формулы масс ядер и
элементарных частиц. В этом случае малые различия в массе между
компонентами изоспинового мультиплета очень просто связаны между собой.
Вообще же говоря, различия масс частиц S?/3-мультиплетов требуют более
