Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве. В этом ЗА-
Линейная Ольебра и еекШрные Пространсшй
41
мерном векторном'пространстве^ успешно решаются задачи классической
механики. В квантовой же механике область наших интересов расширяется до
некоторой совокупности функций координат (волновых функций). Но понятие
векторного пространства можно распространить и на такую совокупность
функций, хотя это означает, что размерность пространства становится
равной бесконечности (на практике часто рассматривают лишь
подпространства такого бесконечномерного пространства функций, обладающие
конечным числом измерений).
Простой пример пространства функций дает нам ряд Фурье. Разложение
произвольной функции в ряд Фурье
/ (*) - 2 сп пх
n = i
можно рассматривать как разложение "вектора" f(x) по бесконечному набору
"ортогональных" базисных векторов sin пх. Коэффициенты сп можно считать
компонентами вектора f(x), а при подходящем выборе скалярного
произведения термину "ортогональность" удается придать математическую
строгость. Такое распространение простого понятия вектора вначале на
конечное число измерений, большее трех, а затем на бесконечное число
измерений - классический пример абстракции в математике. Оказывается,
можно говорить о свойствах некоего абстрактного векторного пространства,
отвлекаясь от его размерности - будь то 3, 3N или бесконечность. Дадим же
после этих вводных замечаний формальное определение линейного векторного
пространства.
Набор Гх, г2, . . . образует "линейное векторное пространство L", если
сумма любых двух его элементов тоже является элементом набора и если
результат умножения элемента на комплексное число с также входит в данный
набор. Если ограничиваются действительными с, то и пространство называют
действительным. Понятно, что любое такое пространство содержит
бесконечное множество элементов; эти элементы и называются векторами.
Набор векторов г2, . . ., гр называют линейно независимым, если эти
векторы не связаны между собой со-
42
Гла*а S
отношением
р
2 ckrk-о
к = 1
(3.1)
с отличными от нуля коэффициентами ch.
Размерность пространства L определяется как наибольшее число векторов в
пространстве L, образующих линейно независимый набор. Мы будем обозначать
размерность символом s (подчеркнем, что размерность - это не число
векторов в пространстве L). Если дано некоторое s-мерное векторное
пространство L, то любой набор из s линейно независимых векторов образует
его базис. Обозначим один из таких наборов символом ег, где i'= =1, 2, .
. ., s. Базис хорош тем, что для любого вектора г можно написать
В самом деле, если существует вектор г, для которого равенство (3.2) не
выполняется, то набор из (s+l) векторов г, et будет линейно независимым.
Но это невозможно ибо тогда размерность пространства L должна быть равна
s-fl, что противоречит определению, по которому L имеет размерность s
(вот пример доказательства "от противного" - таким способом
доказательства мы будем пользоваться часто).
В физическом пространстве трех измерений в качестве базиса обычно
выбирают три взаимно перпендикулярных вектора. Такой выбор взаимно
перпендикулярных (или ортогональных) векторов, естественно, многое
упрощает в трех измерениях, а потому следует попытаться распространить
понятие ортогональности на абстрактное векторное пространство. И это
легко сделать, используя общее понятие "скалярного произведения"
(называемого иногда "внутренним произведением"). Определить скалярное
произведение можно по-разному, но оно обязательно должно обладать
следующими свойствами:
1. Скалярное произведение есть комплексное число, поставленное в
соответствие каждой упорядоченной паре векторов гх, г2 [оно обозначается
через (rlt г2)1;
г= 2 rfit.
(3.2)
? = 1
2. (г" г1) = (г1, г,)*,
(3.3а)
Линейная алгебра и векторные пространства___________43
где знак * соответствует комплексному сопряжению;
3. (rlt сга)=с(г1, г2); (3.36)
4. (гх + г2, г3) = (г1, г3) + (г2, г"); (З.Зв)
5. (г, г)>0 и равенство выполняется только для нулевого вектора г=0.
Положительное значение квадратного корня (г, г)1/* называют нормой (или
длиной, модулем) вектора г. Если для вектора г выполняется равенство (г,
r)'/* = l, то вектор называют "нормированным". Два вектора г2 и г2
взаимно ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т. е.
(гь г2)=0. Набор нормированных и взаимно ортогональных векторов называют
ортонорми-рованным. В векторном пространстве всегда можно выбрать
ортонормированный набор в качестве базиса; поэтому далее мы всегда будем
считать, что базис ег выбран именно таким образом, т. е.
(е/, еу) = 8.., (3.4)
где 8i} - так называемый символ Кронекера; по определению.
_( 0 при i ф /', и ~ \ 1 при I = /.
Может показаться неочевидным, что мы всегда вольны выбрать
ортонормированный базис, но это легко доказать. Пусть мы имеем базис е,,
который не является орто-нормированным. Тогда, исходя из е15 мы можем
построить базис е,- взаимно ортогональных векторов по следующему
