Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
сложных формул, поскольку симметрия здесь сложнее. Однако везде действует
тот же принцип, что и в случае зеемановского расщепления. Все упомянутые
в этом введении примеры будут подробно рассмотрены далее. Но прежде всего
нам следует овладеть соответствующим математическим аппаратом - этому
посвящены гл. 2-4.
2
ГРУППЫ И ИХ СВОЙСТВА
В данной главе мы введем понятие группы, рассмотрим основные свойства ее
элементов и приведем примеры нескольких простейших групп. Свойства
специальных групп, важных в физических приложениях, будут подробно
рассмотрены в следующих главах.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
Хотя мы скоро перейдем к весьма конкретным примерам, начнем все же с
абстрактного определения группы, при всей своей поразительной простоте
влекущего за собой множество важных следствий.
Совокупность $ элементов G1; G2, G3, . . . называется группой, если задан
закон "умножения" элементов, удовлетворяющий определенным требованиям.
Результат умножения двух элементов Ga и Gb называется, естественно, их
произведением и обозначается через GaGb. Упомянутые требования таковы.
1. Произведение GaGb любых двух элементов тоже должно быть элементом
данной совокупности, т. е.
GaGb = Gd, где Gd - элемент группы $, (2.1)
2. При перемножении трех элементов Ga, Gb и Gc не должно иметь значения,
какое произведение вычисляется первым, другими словами:
Ga(GbGc) = (GaGb)Gc, (2.2)
где действие умножения внутри скобок выполняется в первую очередь. Это
означает, что скобки не нужны и произведение трех элементов можно просто
записать в виде GaGbGc.
3. Один из элементов совокупности, который обычно обозначают через Е и
называют единичным элементом,
22
Глава 2
обязан иметь следующие свойства:
EGa = Ga, GaE = Ga, (2.3)
для любого Ga из набора
4. Каждому элементу Ga из совокупности должен соответствовать другой
элемент той же совокупности, обозначаемый через Ga 1 и называемый
"обратным" элементу Ga. Этот элемент имеет следующие свойства:
GaGa1 = E, Ga1Ga = Е. (2.4)
Вообще говоря, изменять порядок умножения элементов группы не
разрешается-, другими словами, GaGb -
это, вообще говоря, не тот же самый элемент, что и GbGa.
Группы, в которых GaGb=GbGa для любых элементов Ga и Оь, называются
"абелевыми"; они редко встречаются в физических задачах. Элементы
абелевых групп называют "коммутирующими".
Заметим, что элемент, обратный произведению GaGb, равен
(GaGb)-1 = G^ 1Gal. (2.5)
Это сразу же следует из определения
(GaGb)-1GaGi, = E,
если умножить справа обе части этого равенства вначале на G*1, а потом на
Ga\ Результаты умножения GaGb=Gd элементов дайной группы удобно
записывать в виде таблицы умножения, где строки и столбцы обозначены
символами групповых элементов, а результат G^ умножения GaGb находится на
пересечении строки Ga со столбцом Gb. Из определения группы следует, что
каждый элемент группы должен встретиться в каждой строке и каждом столбце
один и только один раз.
Мы не ограничивали число элементов в группе. Оно может быть конечным (и
тогда его обозначают буквой g и называют "порядком" группы), но может
быть и бесконечным. В соответствии с этим и группа называется конечной
или бесконечной. В данной книге мы будем рассматривать как конечные, так
и бесконечные группы, поскольку и те и другие имеют большое значение для
физики. Многие общие свойства групп, о которых пойдет речь здесь, а также
в гл. 4, не зависят от того, является ли
Группы и их свойства
23
группа конечной или бесконечной. Но в некоторых случаях приходится
проводить отдельные доказательства. Конечные группы несколько проще; из
бесконечных групп мы затронем лишь "непрерывные", которые весьма часто
встречаются при анализе интересующих нас физических задач. Так называются
группы, элементы которых обозначаются не дискретными символами а или Ь, а
непрерывно меняющимися параметрами. В этом случае при малом изменении
параметра можно непрерывно перейти от одного элемента группы к другому.
§ 2. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Простейший пример элементов группы - обычные числа с обычным законом
умножения; два наших первых примера именно таковы.
1. Два числа 1 и -1 образуют группу. Единичный элемент - это,
естественно, 1. Элемент, обратный единичному, опять-таки единица, а
элемент -1 обратен сам себе. Эти соотношения записаны в табл. 2.1
(таблице группового умножения).
Таблица 2.1
2. Несколько более обширную таблицу того же рода образует набор чисел
1, -1, i и -г; результаты их умножения представлены в табл. 2.2.
Обе эти группы "циклические", т. е. все их элементы могут быть получены
как степени одного элемента. Во втором примере все 4 элемента даются
выражением ih, где к-0, 1, 2, 3. Увеличивая показатель степени к далее,
мы, очевидно, получим повторение того же цикла. Обе рассмотренные группы
абелевы, поскольку мы приняли обычный закон умножения. Нетрудно
сообразить, что
и. всякая циклическая группа должна быть абелевой.
24
Глава 2
Таблица 2.2
Ga Gb 1 - i i - i
1 1 - 1 i - i
