Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
- 1 - 1 1 - i i
i i - i - 1 1
- i - i i 1 - 1
При изучении симметрии физических систем весьма важно знать их поведение
при поворотах. Разнообразные наборы вращений образуют группы, и к
некоторым примерам таких групп мы и переходим. Закон умножения здесь
таков: если поворот Rx переводит систему из положения А в положение В, а
поворот R2 - из положения В в положение С, то произведение RiR2 переводит
систему из А в С. Здесь мы впервые сталкиваемся с примером неабелевой
группы: хотя при вращении вокруг одной и той же ochR2Ri=RiR2, в общем
случае R2R1^4:R1R2. Таким образом, вращения, вообще говоря, не
коммутируют.
Чтобы убедиться в некоммутативности вращений, выберем в качестве операции
Rx поворот на угол я/2 вокруг оси 2, а в качестве операции R2 - поворот
на я вокруг оси у. (Поворотом на положительный угол относительно
направленной оси мы, как это общепринято, будем считать поворот,
соответствующий вращению правого винта, т. е. вращению по часовой
стрелке, если смотреть вдоль оси в ее положительном направлении.) Если
внимательно проследить за перемещением каждой оси при последовательных
поворотах, то мы увидим, что поворот R2Ri аналогичен повороту на я вокруг
оси (1, 1, 0), тогда как RjRa - это поворот на я вокруг оси (-1, 1, 0).
Но начнем с более простых примеров.
3. Пусть Е - тождественная операция (поворот на нулевой угол), a R -
поворот на угол я вокруг оси z. Тогда набор из Е и R образует группу с
таблицей умно-
Группа и их свойства
25
жения, указанной в табл. 2.3. (Такая группа обычно обозначается через
С2.)
Таблица 2.3
Ga оь Е R
? Б R
R R Е
4. Пусть операция I- инверсия, т. е. операция, изменяющая направление
всякого вектора на обратное. Очевидно, что 12=Е (тождественная операция),
так что пара Е, I образует группу; она называется группой S3.
5. Если Rj и R2 - повороты вокруг оси z на углы 2я/3 и 4л/3, то
совокупность операций Е, Rx и R2 есть группа, называемая группой С3. Ее
таблицу умножения легко вывести (табл. 2.4).
Таблица 2.4
G Ь О а Е к"
Е Е Ri r2
Rl Ri r2 E
r2 r2 Е Ri
6. Группу образует совокупность операций Е, R,, R2, R" R4 и Rb, если
R4 и R2 - повороты на углы 2л/3 и 4л/3 вокруг оси z, а остальные элементы
R3, R4 и R5 - повороты на угол я вокруг каждой из трех осей, лежащих в
плоскости ху (рис. 2.1). Такая группа D3 с геометрической точки зрения
есть группа вращений равностороннего треугольника, приводящих его в
положения, неотличимые от исходного. Говоря "неотличимые", мы
предполагаем, что треугольник не имеет меток и вообще
26
Глава 2
ничего, что нарушало бы его идеальную симметрию. Такое преобразование
геометрической фигуры называют операцией "собственного совмещения"; если
разрешены отражения, то говорят о "несобственном совмещении".
У
Рис. 2.1.
Для наглядности мы все же вообразим, что углы треугольника обозначены
цифрами 1, 2 и 3, и посмотрим, как эти цифры перемещаются при поворотах.
Таким путем можно построить таблицу умножения (табл. 2.5). Например,
так что R4R! = R3.
Выяснить на этом и других аналогичных примерах, образует ли набор
элементов группу, можно по таблице
Группы и их свойства
27
Таблица 2.5
Ga Ob E R, r2 R3 Ri Rs
Е E Ri Rs R3 r4 Re
Rl Ri r2 E r4 Re R3
R* r2 E Ri Re R3 r4
R3 Rs Re r4 E Rs Rl
R4 r4 R3 R.3 Ri E Rs
Re Re r4 R3 Rs Ri E
умножения. Поскольку любая строка и любой столбец таблицы обозначены
одним из элементов набора, условие 1 образования группы выполняется.
Единичный элемент появляется в каждой строке и в каждом столбце один и
только один раз - этим подтверждается справедливость условия 4. Условие 3
выполняется очевидно, а условие 2 справедливо для любых вращений.
Обратно, уже определение нашей совокупности как набора всех собственных
операций совмещения равностороннего треугольника с собой гарантирует, что
этот набор является группой. Как произведение двух операций совмещения,
так и действие, обратное любой из них, естественно, являются операциями
совмещения.
7. Треугольник из приведенного выше примера также не изменяется при
отражении в его плоскости. Эту операцию обычно обозначают через oh,
считая, что плоскость треугольника горизонтальна (horizontal). Введение
нового элемента влечет за собой появление других новых элементов -
произведений Riaft, R2cr. . ., R5aft. Геометрически ясно, что
произведение R3a/j - это просто отражение в вертикальной плоскости, в
которой лежит ось R3; то же самое верно для R4crft и R5a/j. Легко
убедиться, что набор из 12 элементов
Е, R4, R2, R3, R4, R5, R4crA, R2*7ft> cr3 a4, cr6,
где a3 = R3a/l и т. д., образует группу, в которой содержится группа Ds\
эту новую группу обычно обозначают
28
Глава 2
символом D3h. Ее таблицу умножения можно получить из табл. 2.5 и
соотношения сг2='Е (двукратное отражение в плоскости эквивалентно
операции идентичности). Заметим, что группа D3h не содержит инверсии I,
хотя несобственные элементы (не являющиеся поворотами) в ней содержатся.
Очевидно, что инверсия треугольника не переводит его в себя. Элементы
