Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
типа Ricr^, содержащие вращения в сочетании с отражением в плоскости,
перпендикулярной оси вращения, называются зеркально-поворотными.
8. Совокупность всех вращений относительно заданной оси образует
непрерывную группу, называемую группой Ж%. Ее элементы
обозначаются символами R(a),
где а - угол поворота, 0^а<2л. В этом случае таблица умножения должна
быть бесконечной, но в действительности мы можем написать общую формулу
для произведения двух любых элементов. Из геометрических соображений
очевидно, что
R(e)R(fc) = R(ffl + &), (2.6)
причем
R (а-\-2л) = R (а).
Таким образом, элементы коммутируют и обратный элемент есть
R-1(e) = R(2n -а). (2.7)
9. Обобщив предыдущий пример на случай трех измерений, мы получим набор
всевозможных вращений вокруг осей, проходящих через данную точку, который
также будет группой. Здесь для описания вращений требуется три параметра.
Обычный способ параметризации включает задание двух полярных углов,
фиксирующих ось вращения, и угла поворота относительно этой оси. Операция
вращения в этом случае обозначается через Rk (a), где индекс к
соответствует единичному вектору в направлении оси вращения. Вместо этого
можно также ввести эйлеровы углы, описывающие положение тела по отношению
к некоторой исходной позиции. Данная группа, обозначаемая символом З?3,
состоит из совокупности собственных операций совмещения сферы, и мы еще
вернемся к ней в гл. 7.
Группы и их свойства
29-
10. Набор всех перестановок Р из п объектов образует группу, называемую
обычно "симметрической группой" и обозначаемую символом <ГРп.
Произведение двух перестановок по определению есть такая перестановка,
которая прямо переводит исходное расположение в конечное. Перестановку
удобно обозначать символом
указывающим, что элемент i заменяется элементом pt. Следовательно, числа
рг р2 Рз • ¦ • Рп - это переставленные числа 12 3 ... п. Таким образом,
существует п\ элементов, поскольку рг можно выбрать п способами, р2 можно
выбрать (п-1) способами и т. д. Так обычно и делают, но записывать числа
верхнего ряда Р в порядке возрастания вовсе не обязательно. Так,
например, два символа
обозначают одну и ту же перестановку, так что сразу же можно записать
выражение для элемента, обратного Р:
В качестве упражнения составим таблицу умножения для п=3. Для краткости
введем обозначенпя
С
123 ... п
Р =
.Pi Pi Рз • • • Рп) '
(2.8)
Pi Pi Рз ¦¦¦ Рп 123 ... п
Получим, например,
1 2 ЗЛ/1 2 3
30
Глава 2
Здесь мы для доказательства переставили столбцы в Pi так, чтобы верхняя
строка матрицы Рх совпала с нижней строкой матрицы Р2. Поэтому можно
написать общее соотношение
fPi Рз Рз ¦ ¦ ¦ Ра\ fl 2 3 • • • п N
\?i Чг Чз ¦¦¦ 4n)\Pl Рз Рз ¦¦¦ Рп)~
(12 3 ... п\
, (2.9)
\ч 1 ч2 Чз • • • Чп/
которое будет фактически определением произведения двух перестановок.
Таким путем мы построим таблицу умножения (табл. 2.6).
Таблица 2.6
§ 3. ИЗОМОРФИЗМ
Данное выше определение группы столь абстрактно, что возможны случаи,
когда две группы, элементы которых определены совершенно по-разному, тем
не менее очень сходны между собой и алгебраически могут рассматриваться
как одна и та же группа. На языке математики это выражается так: мы
называем две группы Ч* и Ж изоморфными, если между элементами Ga группы Ъ
и элементами На группы Ж можно установить взаимно однозначное
соответствие Ga<->Ha, такое, что из равенства GaGb=Gd следует равенство
HaHb=Hd. Если соответствие такого типа существует, но не является
Группы и их свойства
31
взаимно однозначным, то группы называются гомоморфными. Таким образом,
две изоморфные группы должны иметь одну и ту же таблицу умножения;
возможно лишь иное расположение групповых элементов. Поскольку при
изучении симметрии для нас интересны в основном алгебраические свойства
групп, определяемые их таблицами умножения, понятие изоморфизма позволяет
экономить время и находить полезные аналогии, выявляя изоморфизм групп.
С некоторыми случаями изоморфизма мы уже сталкивались в примерах § 2.
Так, взаимно однозначное соответствие 1<->Е и -1<-"R указывает на
изоморфизм групп, разобранных в примерах 1 и 3, а соответствие Ri-<->Р5,
R2<->P4, R3<->Pi. R4<->P2 и R6<->P3 - на изоморфизм в группах примеров 6
и 10.
§ 4. ПОДГРУППЫ
Часто оказывается возможным выделить внутри данного набора из g
элементов, образующих группу $, другой набор из меньшего числа этих
элементов, который тоже удовлетворяет определению группы. Тогда говорят,
что эти элементы образуют подгруппу группы Ъ. В отобранные элементы,
безусловно, должен попасть единичный, но самое главное - произведение
любых двух элементов из этой совокупности обязано также быть ее
элементом. В § 2 можно найти ряд групп, содержащих подгруппы: в примере 2
элементы 1 и -1, очевидно, составляют подгруппу; группа 52 2 является
подгруппой группы 52з (на самом деле группа 52 3 содержит бесконечное
множество подгрупп 522, определяемых выбором оси вращения); подгруппами
группы 523 являются также все конечные группы вращения и в частности
