Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 11

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 122 >> Следующая

группа, рассмотренная в примере 6.
Группа Ds в примере 6 в свою очередь содержит несколько подгрупп, как
можно видеть из ее таблицы умножения. Это циклическая группа С3,
образованная элементами Е, Rt и R2, а также три группы из двух элементов:
Е, R3; Е, R4 и Е, R5. Каждая из этих трех подгрупп изоморфна группе в
примере 3. Рассмотренная в примере 10 группа перестановок имеет ту же
структуру,
32
Глава 2
что и изоморфная ей группа D3, и, следовательно, содержит те же самые
подгруппы.
Существует ряд изящных теорем, описывающих подгруппы, но мы здесь
упомянем пока только одну, по которой порядок группы обязан быть кратным
порядкам подгрупп. Эта теорема называется теоремой Лагранжа (задача 2.4).
С физической точки зрения подгруппы важны в теории возмущений. Часто
бывает так, что на систему, симметрия которой соответствует группе
действует возмущение, которое не подчиняется всем симметрическим
операциям группы, но сохраняет более низкую симметрию, соответствующую
некой подгруппе группы
§ 5. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП
Пусть группа Э? содержит две подгруппы Ъ и Ж, элементы которых
коммутируют, так что GaH&=HbGa, где Ga - любой элемент подгруппы #, а Нь
- любой элемент подгруппы Ж. Если, кроме того, любой элемент группы STfT
может быть записан единственным образом в виде произведения GaHb, то
группу Ж называют "прямым произведением" групп % и Ж, изображая это как
5,С='8хЖ. Данное определение означает, что единственным общим элементом
групп и Ж является единичный элемент.
Построим прямое произведение групп С2 и S2, рассмотренных в примерах 3 и
4 (§2). Очевидно, что инверсия, означающая просто замену всякого вектора
противоположным вектором, коммутирует с любыми вращениями, поскольку если
Rr=r', то IRr = 1г' = -г' и Rlr=-Rr=-г'. Совокупность элементов Е, R, I,
RI образует группу, являющуюся прямым произведением C2xS2 и обычно
обозначаемую через C2h. Заметим, что элемент RI есть операция отражения в
плоскости ху (обозначаемая через а). Это становится понятным, если
проследить преобразование осей координат х, у и z: инверсия I изменяет
направление всех трех осей на противоположное, а при повороте R вновь
меняют знак оси х ж у. Таким образом, произведение RI обращает
направление лишь оси z; это и есть отражение в' плоскости ху.
Группы и их свойства
33
Группа Dah, с которой мы познакомились в примере 7, также является прямым
произведением группы D3 и группы, состоящей из элементов Е и ah.
Последняя группа обычно обозначается через St, так что имеем D^DsXS,.
Забегая вперед, скажем, что к группе Э13 всевозможных вращений в трех
измерениях можно добавить операцию инверсии, в результате чего образуется
так называемая "полная ортогональная" группа Оя. Ее элементами являются
операции Rk (а) и IRk (а)-
Представление группы в виде прямого произведения удобно тем, что при этом
можно вывести ее свойства из свойств образующих групп. Полностью оценить
значение данного обстоятельства мы сможем позднее, пока же заметим, что
таблицу умножения прямого произведения групп можно прямо написать на
основании таблиц компонент, поскольку
(GeH6) (GcHd) = (G0GC) (HbHd).
В случае группы С2^ мы получим табл. 2.7.
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И КЛАССЫ
Во всех группах, кроме самых простых, число элементов весьма велико. Уже
в примерах 5 и 8 (§2) таблицы умножения становятся громоздкими. Но
исследование строения групп можно упростить, выделив внутри группы
"классы" элементов со сходными свойствами.
34
Глава 2
Элемент Ga некой группы называется "сопряженным" элементу Gb, если в
группе найдется элемент G", такой, что
Ga = GnGi)G^1. (2.10)
Если элементы Оь и Gc оба являются сопряженными элементу Ga, то отсюда
сразу следует, что элементы Gb и Gc также являются сопряженными друг
другу, поскольку если
Ga = G"G6Gn-1 и Ga = GmGcGm',
то
G" - G?GaGn = G?GaGeG?Gn = (G^G J Gc (G?Ga)~K
Это приводит к понятию "класса", в котором все элементы сопряжены друг
другу. При этом ни один элемент не может принадлежать более чем к одному
классу. В самом деле, если элемент G принадлежит двум классам, то он
должен быть сопряжен со всеми элементами в обоих классах, и тогда
элементы одного класса будут сопряжены элементам другого, т. е. эти два
класса объединяются в один. Вследствие этого всякую группу можно разбить*
на непересекающиеся классы, которые мы будем обозначать символами ёр.
В абелевых группах каждый элемент группы сам по себе образует класс,
поскольку из соотношения (2.10) вследствие коммутации групповых элементов
вытекает равенство Ga=Gb. По той же причине один единичный элемент всегда
образует класс.
§ 7. ПРИМЕРЫ КЛАССОВ
А. Группа вращений З13
Чтобы найти элементы группы, принадлежащие к тому же классу, что и
некоторый выбранный поворот Rk (а), необходимо построить операцию
вращения
RRk (a) R-1
для произвольного R. Такое тройное произведение можно очень просто
интерпретировать. Покажем, что это есть роворот на тот же угол а вокруг
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed