Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
к исходному базису. Отметим, однако, что в формуле (3.18) суммирование
проводится по первому индексу / компонент T}i, а в формуле (3.20) - по
второму индексу i.
& Коэффициенты Тц на самом деле образуют некую матрицу Т, так что Тji -
матричный элемент, стоящий на пересечении ;-й строки с i-м столбцом. Если
представить базисный вектор в; в виде матрицы-столбца, элементы всех
строк которой, кроме i-й, равны 0, а элемент г-й строки равен 1, то мы
получим
<ТХХ т1Ш. Т Л •1 и ГО' ^3
II ? Т*г i = Ти = ти 0 +
Jsi- •• Т * ssJ А Jsi. 0,
+ Т и
ГО' '0'
1
0 + ...+71,/
я X
2 TjiCj,
/ = 1
т. е. просто формулу (3.18), записанную в другой форме.
Произвольный вектор г можно представить аналогичным образом в виде
г =
X \ТХХ т 12 . т,
, причем Тг = Ти г2
rs, Т,г • • т • ss) . rs;
2 Ти г,.
/ = 1
2 Tsi п U = 1
Линейная алгебра и векторные пространства
51
Если базис е, ортонормированный, то возможна еще одна интерпретация
матричных элементов ТВычисляя скалярное произведение е} на ej, получаем
(е,, е}) = (еу, Те,)=2 Тм (еу,е*) = 2 = V (3'21)
k k
Таким образом, матричный элемент ТП - это просто скалярное произведение
(е,, Тег), в котором оператор Т "вложен" между двумя базисными векторами
еу и ег. В квантовой механике часто встречается выражение "матричный
элемент оператора", понимаемый именно как такое скалярное произведение.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР
Произведением TS двух операторов Т и S в векторном пространстве L
называется результат действия сначала оператора S, а затем оператора Т.
Если •
Se, = 2 Sjfij, Теу. = 2 ТkJek,
/ к
то
TSe, = 2 SjtТеу. = 22 SJtThJeh = 2/2 ThJS А
! i к к I f J к'
так что матричные элементы произведения TS имеют вид
(ts)*, = 2?W (3-22)
/
Отсюда понятно, что матрица произведения операторов TS есть обычное
произведение матриц Т и S в указанном порядке. Заметим, что операторы,
как и матрицы, в общем случае не "коммутируют", т. е. порядок умножения
влияет на результат. Разность TS-ST двух разных произведений операторов Т
и S называется их коммутатором. Коммутатор, обозначаемый символом [Т, Si,
сам является оператором. Отметим также, что, по принятому соглашению,
оператор действует на вектор, находящийся справа от него. Следовательно,
можно считать, что в произведении TS сначала действует оператор S, а
затем оператор Т.
52
Глава 3
Пусть имеется оператор Т в векторном пространстве L; мы записываем, как
обычно, Тг=г' и называем г' преобразованным вектором. Тогда, вообще
говоря, можно определить "обратный" оператор Т-1 соотношением
r = T"V. (3.23)
Обратный оператор Т-1 имеет очевидные свойства Т-1Т = =ТТ-1=Е, где Е -
тождественный оператор, оставляющий все векторы неизменными; в любом
произвольном базисе он дается единичной диагональной матрицей. Матрица Т-
1- это просто матрица, обратная матрице Т. Предполагается, конечно, что
обратная операция существует, а это, в свою очередь, накладывает на Т
ограничения, а именно преобразование должно быть взаимнооднозначным или,
если говорить о матрице Т, ее детерминант должен быть отличным от нуля.
Во всех представляющих интерес задачах этой книги фигурируют
взаимно,тоднозначные^преобразования. Заметим, что оператор, обратный
произведению TS, дается выражением (TS)-1 =S~ 1Т~1, в котором
первоначальный порядок умножения изменяется на противоположный. Это
утверждение, хорошо известное из теории матриц, легко проверить: обратный
оператор по(tm)определению удовлетворяет тождеству T(S)-1TS=E, и, умножив
правую и левую части справа на S-1, получим (TS)-1T=S_1, а умножив еще
раз справа на Т-1, получим требуемый результат (TS)~1=S-1T-1. Этот
результат очевиден, если рассматривать операции надевания Fносков и
ботинок. При операции обувания мы сначала надеваем носки, а затем
ботинки, а при операции разувания ботинки снимают вначале, а носки потом.
Пусть оператор Т переводит г в г', а г - в г', т. е. Тг= г' и Тг=г'. Если
при этом имеется другой оператор S,. переводящий г в г, т. е. Sr=r, мы
вправе заинтересоваться: а какой вид имеет оператор S', переводящий г' в
г', т. е. S'r'=r'. Если векторы г' и г' мы называли преобразованными (т.
е. трансформированными оператором Т), то оператор S' можно назвать
трансформированным оператором. Чтобы выразить S' через исходные
операторы, заметим, что r'=Tr=TSr=TST-1r'; таким
Линейная алгебра и векторные пространства
53
с
!
/
Г
-1
/
/
/
образом,
S' = TST_1. (3.24)
Понятие трансформированного оператора становится более ясным на примерах
§ 8, а наглядно оно поясняется на рис. 3.1. Здесь точками
представлены'векторы, а прямыми со стрелкой - операторы. Расстояния и
углы не несут здесь никакой информации. Таким образом,
^_______________?____________ г.
уравнение Sr=r представ- I (
лено прямой, обозначенной I буквой S и направленной I
от г к г. Искомый транс- 1 ftsr
формированный оператор, _ 1 переводящий г' в г', из- г ~~ ображен
пунктиром; но такое же перемещение можно совершить и по другому пути,
