Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕОГ.РАЗОВАПИЯ'ФУПКЦИП
В § 2, п. В п Г было показано, как пз некой совокупности функций при
подходящем выборе скалярного произведения образуется векторное
пространство. Один из важных способов построения оператора в пространстве
функций - задание преобразования функций, "индуцированного"
преобразованием аргументов этих функций. Обозначим координаты некой
системы s-мерпым вектором
Линейная алгебра и векторные пространства
57
r==(^i, г2, . • rs) и рассмотрим некоторую группу преобразований G
системы и, стало быть, также вектора г. Итак, мы рассматриваем
преобразования, индуцированные в векторном пространстве функций ф(г)
этими преобразованиями G, примененными к вектору г. Такое индуцированное
преобразование мы будем обозначать символом Т (G) и определять из
уравнения
Т(0)ф(г) = ф(С-1г). (3.37)
Для трансформированных функций T(G)i|)(r) будем использовать обозначение
ф' (г). Важно четко понимать, что мы имеем дело с двумя векторными
пространствами: пространством координат вектора г, в котором определено
преобразование G, и пространством функций ф(г), в котором определено
индуцированное преобразование Т (G). Через компоненты вектора г в
некотором базисе et преобразование (3.37) можно выразить таким образом:
Т (G) Ф (гх, г2, ..., гД = ф(гх, г2, ..., rs), (3.38)
где гг - i-я компонента вектора r=G_1r. Если известна матрица
преобразования G в базисе ег, то для унитарного оператора G по формуле
(3.20)
(3.39)
i i
Числа Г} можно рассматривать как компоненты вектора г в
трансформированном базисе e'=Ge,, поскольку
(е;, г) = (Ge,-, г) = (е,-, G^r) = г,-. (3.40)
Чтобы, зная функцию ф(г) и матрицу преобразования G, найти ф' (г), нужно
просто подставить (3.39) в (3.38).
Может показаться непонятным, зачем нужен в определении (3.37) обратный
оператор G-1, раз мы с тем же успехом можем использовать и G. Тем не
менее, согласившись применять G-1, мы в дальнейшем получим важные
упрощения; такое условие имеет и некоторый физический смысл. Предположим,
например, что ф(г) описывает температуру тела в точке г трехмерного
пространства, a G есть поворот тела относительно начала координат. Тогда
по определению (3.37) новая функция ф' (г) будет описывать температуру в
точке г после поворота. Это
58
Глава 3
можно видеть на рис. 3.2, где буквой Q обозначена точка G-1r. Таким
образом, в результате поворота G точка Q переносится в точку Р, ибо
G(G_1r)=r. Значит, температура в Р после поворота, задаваемая функцией
ф'(г),- это та температура, которая была до поворота в точке Q, т. е.
o|)(G-1r). Следовательно, мы получили ф'(г) =ф(0-1г),
так что преобразование ф(г) в ф'(г) задает оператор Т (G) в пространстве
функций. В этой книге мы значительно чаще будем иметь дело не с
температурами, ас волновыми функциями, но рассуждения от этого не
изменятся; кроме того, температуру тела проще себе представить, чем
значение волновой функции в точке.
Математически необходимость использования в равенстве (3.37) именно
обратной операции G-1 становится понятной при рассмотрении
последовательности двух операций. Пусть функция ф' определяется
преобразованием T(G2), заданным, как в (3.37), соотношением Т (02)ф(г) =
==ф(0^1г)=ф'(г). Тогда получим
Т (GO Т (G.) ф (г) = Т (Gt) ф (G2-lr) = Т (GO ф' (г) = ф' (G?r) = = ф
(G^G^r) = ф ((G.G,)-1 г), (3.41)
а это означает, что произведение GiG2 преобразований векторов г
индуцирует в пространстве функций произведение операторов 1(007(00,
взятых в той же последовательности. Вели использовать в определении
(3.37J
Линейная алгебра и гекгпорные пространстеа 59
не G-1, a G, то мы получили бы, что оператору G1Ga соответствует оператор
Т (G2)T (Gx) с запутывающей перестановкой операций.
Важный частный случай преобразования функций (3.37) мы получим, если сами
компоненты рассматривать как функции вектора г, записывая г*=(ег, г). По
(3.37) компонента гг преобразуется в
т. е. в i-ю компоненту вектора G-1r.
Во всех предыдущих рассуждениях мы рассматривали только скалярные функции
положения, которые ставят каждому вектору г в соответствие число ф(г).
Обобщение на функции с несколькими компонентами, ставящие в соответствие
каждому г несколько чисел, будет проведено в гл. 8.
§ 8. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
А. Вращение векторов в плоскости ху
Рассмотрим поворот всевозможных векторов в плоскости ху относительно оси
z на угол а. Соответствующий оператор, обозначаемый через R(a), есть
линейный оператор в двумерном пространстве плоскости ху. Он, очевидно,
соответствует определениям (3.16). Матрицу легко найти из уравнений
(3.21) и (3.14):
откуда Rn=cosa, Л12=-sina, Rn-sina, R22~cosa, так что
При повороте расстояния и углы сохраняются, а потому скалярное
произведение, очевидно, остается неизменным. Поэтому матрица R является
ортогональной и удовлетворяет условию (3.30).
Б. Перестановки
Перестановку часто можно рассматривать как линейный оператор. Пусть
перестановка Р12 меняет местами векторы ег и е2 в двумерном пространстве.
