Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(фх, фа)=0 и нормировки (фа, фа)=1. Получаем
Нетрудно убедиться, что произведение ху, будучи нечетной функцией как
переменной х, так и переменной у, ортогонально и функции фх, и функции
фа. Из условия нормировки находим
§ 5. НЕПРИВОДИМОСТЬ
Как видно из примеров § 4, исходя из все более сложного функционального
пространства, можно получать матричные представления все возрастающего
размера. Казалось бы, изучение возможных представлений даже в простейших
группах типа Ds является делом устрашающей сложности. Однако нас спасает
следующее замечательное свойство групповых представлений: все
представления конечной группы можно "построить" из конечного числа
некоторых определенных неприводимых представлений. Группа Ds, например,
имеет только три определенных неприводимых представления: два одномерных
и одно двумерное. Здесь нам приходится вводить некоторые новые понятия^
мы строго определим их чуть позже, а пока для иллюстрации обратимся к
примеру, рассмотренному в § 3, п. А. Размерность представления в этом
примере равна трем. Из вида матриц вытекает, однако, что построенные из
первых двух строк и столбцов матрицы 2x2 образуют двумерное
представление, тогда как диагональные матричные элементы, расположенные
на пересечении третьей строки с третьим столбцом, образуют представление
размерности единица. Это становится возможным, поскольку равны нулю
элементы, расположенные на пересечении первых двух строк с третьим
столбцом и первых двух столбцов с третьей строкой. Если говорить о
векторном пространстве, то это озна-
Предстлвления tpynn
75
чает, что два вектора еж и еу порождают инвариантное векторное
пространство, а один вектор е2 порождает второе инвариантное векторное
пространство, ортогональное первому. Мы скажем в этой ситуации, что
трехмерное представление приводится к "сумме" двумерного и одномерного
представлений. Одномерное представление, очевидно, не может быть
приведено дальше, а попытавшись привести двумерное представление, можно
убедиться в том, что и оно также неприводимо. Мы вкладываем в эти слова
такой смысл: невозможно выбрать новые базисные векторы е^ае-с+ре^ и
е3=Реж-ае^, такие, чтобы матричные элементы
Ты (К) = (elf Т (RJ е2) и 1\г (Rfl) = (е2, Т (Rfl) ej
обращались в этом базисе в нуль для всех элементов Ra из группы D3.
Представления, которые нельзя привести, называют неприводимыми.
Понятие приводимости играет чрезвычайно важную роль в физике, поскольку,
как мы увидим в следующей главе, из волновых функций, описывающих
стационарные состояния симметрической системы с одной и той же энергией,
можно построить базисные функции неприводимого представления группы
операций симметрии.
Дадим теперь более строгое определение понятия приводимости. Пусть L -
пространство, инвариаптное относительно преобразований Т (Ga),
индуцированных некоторой группой # из элементов Gfl. Тогда, если Lx-
инвариантное, подпространство пространства L и его ортогональное
дополнение Ьг (гл. 3, § 1) тоже инвариантно, то представление Т называют
приводимым. Если же такое подпространство найти невозможно, то
представление Т называется неприводимым. В этом определении приводимости
существенно, что инвариантны как подпространство Lx, так и его
ортогональное дополнение La. Здесь опять возможно упрощение, поскольку,
если операторы Т (Ga) унитарны, из инвариантности пространства Li
вытекает инвариантность пространства Ь2. Доказательство очевидно: если
базисные векторы пространства Li обозначить через ег, а базисные векторы
пространства L2 - через е}, то по определению L% мы имеем (е,, еД=0.
76
Глава 4
В силу'инвариантности Д,-произведение (T(G,)e,-, е,-)=0, а вследствие
унитарности оператора Т последнее равенство эквивалентно равенству (ег,
T(G")e;)=0. Из этого равенства вытекает, что векторы Т (G")e?
ортогональны векторам е{, т. е. обязаны принадлежать пространству Ьг.
Таким образом, пространство L2 инвариантно, что и требовалось доказать.
Условие унитарности преобразований почти не ограничивает общности,
поскольку, как мы увидим в § 6, почти все интересные с точки зренпя
физики преобразования унитарны. Таким образом, оказывается возможным
разбить любое простнанство L на сумму подпрострапств L,. (их может быть
больше двух), каждое из которых является инвариантным и неприводимым,
хотя такое разбиение не обязательно должно осуществляться единственным
образом. Можно написать L=Zj-f?24-Z34-. . где каждое подпространство Lq
неприводимо и инвариантно по отношению к преобразованиям Т (G").
Соответственно этому приведение представления можно записать в виде
Т (G") = Т(1> (G") ф Т(2) (О,,) -'В Т<9> (GJ ф. .., (4.12) где Т(q)(Ga) -
неприводимое представление, индуцированное в пространстве Lq. Данное
выражепие следует понимать как сумму операторов T(9,>(G"), действующих в
разных пространствах Lq,- на это указывает особая форма знака сложения.
На языке матриц это означает следующее: если вьт-брать"базисныа векторы
