Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
называется точным, если существует взаимно-однозначное соответствие
(изоморфизм) между операциями Т(Ga) и групповыми элементами G,(.
66
Глча 4
Вообще говоря, можно рассматривать и отображение многих математических
объектов в один, т. е. представление нескольких групповых элементов одним
и'тем же оператором. Примером может служить крайний случай
"тождественного представления", когда все элементы представлены
оператором идентичности 1.
§'2. МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
На практике оператор обычно задают его матрицей в пекотором выбранном
базисе. Выбрав базис е*, е2, es, . . .
. ., es в пространстве L, мы можем для каждого оператора T(G0) построить
матрицу (гл.'З, §3) по формуле
, т (Оя)е,- = У' Тп (Ga)e;. (А.2)
Набор" матриц Т (G,;) с матричными 'элементами Т(Ga) образует матричное
представление группы. Как и должно быть, матрицы T(Ga) удовлетворяют
уравнению (4.1) обычного матричпого умпожепия
T(Ga)T(G,) = T(GaG"). (4.3)
Это прямо следует из (4.1) и (4.2), поскольку Т (G,,) Т (G,) с . = У Т
(Ga) Т п (G,,) е, =
и
tTg^) Т (G") е, = T(GaG4) е, = ^ Т k! (GnGr>) ek,
k
так что
TH(GaGb)^y,Tk/(Ga)Tfi(Ghh
f
На практике для вычисления матричных элементов с использованием
ортонормированного базиса, как правило, удобнее пользоваться соотношением
T//(Ga) = (e/, Т (Ga) е,), (4.4)
которое прямо следует из равенства (4.2).
Лр*детлвл*ния tppnn
67
§ 3. ПРИМЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
А. Группа Ds *
Чтобы установить, каков физический смысл представления, мы рассмотрим
здесь группу D3, введенную ранее (гл. 2, § 2, п. Е), и построим для нее
матричное представление. Точное представление этой группы получается
сразу же, если записать соответствующие каждой операции преобразования в
обычном трехмерном декартовом пространстве. Выберем базисные векторы еж и
еу так, как показано на рис. 4.1, а вектор ег направим перпендику-
лярно плоскости рисунка. Тогда отображение элемента группы, например Rj
(оператора поворота на 120° вокруг оси z), примет вид
е.г
\
\
Рис. 4.1.
(4.5)
В8
Глмв 4
и, следовательно, согласно формуле (4.4), его матрица будет равна
' 1
, rf(r)'
V\
Vi
о
о
Для других элементов грунны аналогичным образом получим
т (R.) =
У т
о
Vi
-т "
О 1
T(Rj
T(R4) =
2
Vi
У 7
О
т (R3) =
/ у
У i
2
Ут
~Т 0 О -1
T(E)
Как нетрудно убедиться, эти матрицы имеют ту же таблицу умножения, что и
груиновые^ элементы. Имеем, например, Т (Rx) Т (R4)=T (RJ, что
согласуется ^ равенством RiR4=ks (табл. 2.5).
Рассматривая только одномерное пространство вектора сг, мы можем
построить очень простое одномерное представление, которое обозначим через
Т(2):
Р2' (Ri) = 1" T(2'(RS) = 1, Т(2) (R3) = - 1,
r*'(R.) = -l, T(24R6) = -1. Tl2) (E) = 1.
Предетмленил tpynn
69
Отметим, что Т12) не есть тождественное представление [которое мы будем
обозначать через Tu)(ii)j=ll, ставящее в соответствие каждому элементу
группы +1. Заметим также, что числа -1 соответствуют трем элементам,
относящимся к одному и тому же классу Й, группы D, (гл. 2, § 7). Это
отнюдь не случайность - в § 9 мы увидим, что представления элементов,
принадлежащих одному классу, имеют ряд общих свойств.
Поскольку в третьей строке и третьем столбце матриц Т (К4) стоят нули,
понятно, что матрицы 2 X2, построенные из двух первых строк и столбцов,
тоже образуют представление группы Dt, которое мы обозначим через T'ai.
Б. Группа
Используя то же пространство, что и в предыдущем примере, можно построить
представление непрерывной группы вращений ОЙ, вокруг оси 2. В этом случае
индекс а групповых элементов R (а) является непрерывным параметром в
интервале 0^а^2я, а матрица, уже полученная нами ранее (гл. 3, § 8),
имеет вид
для любых а и b в согласии с правилом умножения групповых элементов
R(a)R(fc)=R(a-f-fc).j
В. Функциональные пространства
/cosа -sin a О
(4.6)
Отсюда сразу следует, что
T(a)T(6)"=T(a+6)
(4.7)
Два первых примера представлений построены в обычном физическом
трехмерном пространстве, и поэтому на данной стадии нелегко понять, каким
образом для
70
Гла*ш 4
групп типа Da и 5?а могут быть построены представления размерности,
большей 3. Чтобы показать, как это может быть достигнуто, мы построим
представления в функциональном пространстве, рассмотрев преобразования
функций при повороте системы координат согласно формуле (3.37). Это будет
иметь очень важное значение для приложений теории групп в квантовой
механике.
Пусть мы имеем пространство L функций ф(г), где г - некоторые координаты,
инвариантных относительно группы преобразований координат Gfl в том
смысле, что если ф(г) принадлежит пространству L, то ему принадлежит и
ij)(G~1r) для всех элементов Са этой группы. Тогда мы можем определить
представление Т в функциональном пространстве L как преобразования
Т(6а)ф(г) = ф(6-1г) (4.8)
типа преобразования, рассмотренного в гл. 3, § 7. Снова нетрудно
убедиться, что это представление удовлетворяет условию (4.1), ибо,
определив ф' (г)=ф (G^1 г), имеем
Т (Ge) Т (Gb) ф (г) = Т (GJ ф (О*"*) = Т (GJ ф' (г) =
