Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда матрица
T(GК=(е,-, G-'r) = !•,,
(3.42)
Rj i (а) = еу • R (а) е, = е,- • е:,
R =
§6
Глий 3
Pis, равна
0 1
1 О
и удовлетворяет условию (3.16). Примером перемножения операторов может
служить произведение (Pi2)2=E; это равенство можно получить, перемножив
матрицы:
На этом примере можно пояснить и задачу на собственные значения. Из вида
матрицы следует, что собственные значения X оператора Р12 должны
удовлетворять соотношению
откуда Х = ±1 и собственные векторы равны (1/2)'/* (ei±e2). Геометрически
оператор Р12 эквивалентен отражению относительно биссектрисы прямого
угла. Очевидно, что оператор Р12 оставляет на месте вектор (ei+e2), а
направление вектора (ех-е2) изменяет на противоположное в соответствии с
собственным значением -1.
В. Умножение на функцию в функциональном пространстве
В примере § 2, п. Д> векторное пространство состояло из всех функций,
удовлетворяющих определенным граничным условиям и обладающим конечной
нормой. Результатом умножения некоторой такой функции ф(г) на непрерывную
функцию S (г) является другая функция ф(г) в том же пространстве, равная
В этом смысле множитель S (г) можно рассматривать как линейный оператор в
пространстве. Но здесь нужна осторожность - так, например, в
конечномерном пространстве квадратичных функций (§ 2, п. Г) результат
умножения на любую функцию S (г), кроме константы, не будет квадратичной
функцией, и, следовательно, в данном пространстве такой множитель не
является оператором.
Ф(г) = 5(г)ф(г).
(3.43)
Йипе&пля iuuipM a etKttibpnue npttmptaemii__________(И
Как и в преобразовании функционального пространства (3.37),
трансформированный оператор (3.24) в обозначениях (3.38) имеет вид S' (г)
=5 (0_1г)=5 (г).
Г. Дифференцирование в пространстве функций
Если задана функция ф(г)=ф(х, у, z), то путем ее дифференцирования можно
получить новую функцию (р(х, у, z) = (dldx)ty (х, у, z). В этом смысле
д!дх есть линейный оператор в пространстве функций; конечно,
предполагается, что функция q>(x, у, z) принадлежит данному пространству.
В примере 2, п. В множитель д/дх не является оператором в пространстве
квадратичных функций, но у (д/дх) в этом пространстве, очевидно, является
оператором. Заметим, что операторы умножения на функцию (§ 8, п. В)
должны коммутировать друг с другом, ибо очевидно, что 51(г)52(г)ф(г) =
52(г)5,1(г)ф(г). Но при введении дифференцирования это, вообще говоря,
становится неверным; например, взяв ф(г)=жг/, S (г)=х/^получим
В общем случае (§ 4) коммутатор двух операторов отличен от нуля. В данном
примере коммутатор вычисляется непосредственно, поскольку для любой
функции ф(г)
где производная dS/dx сама является оператором в смысле примера § 8, п.
В, т. е. функцией, на которую следует умножить. Это справедливо при любой
функции S (г); в разобранном выше частном случае dS/dz-l, что согласуется
с формулой (3.44).
S (г) ф (г) = х2у, -^S(г) ф (г) = 2ху, -^ф(г ) = у, 5(г)-|-ф(г) = гу.
(3.44)
и поэтому можно написать
(3.45)
Глава Я
Д. Индуцированное преобразование функций
В качестве иллюстрации к общим рассуждениям, изложенным в § 7, рассмотрим
функцию ф(г), где г - вектор в двух измерениях. Тогда, вводя полярные
координаты г, ф, получим ф(г)=ф(г, ф). По определению (3.37)
преобразование функции ф, индуцированное поворотом R(a), имеет вид
Т (R(a))^(r) = ^(R-1 (а)г) = ф(г, ф-я),
т. е.
Т (R (а)) ф (г, ф) = ф(г, ф-а).
Для примера рассмотрим две функции:
фх(г, ф)=совф, фа(г, ф) =sin ф, которые дадут
Т (R (а)) ф! (г, ф) = соэ (ф-а) = cos ф cos а + sin ф sin а,
Т (R (а)) фа (г, ф) = sin (ф-a) = sin ф cos a - cos ф sin a.
Итак,
Тфх = cos афх + sin аф2,
Тф, = - sin аф! + cos аф2,
т. е. мы получили преобразование функций фх и фа, инду цированное
преобразованием R(a). Понятно, что можно построить и более сложные
функции. Снова, если мы возьмем
ф (г, ф) = ехр(гтф),
то
Тф = exp [im(ф-a)] - exp (- ima) ф,
т. е. данная функция есть на самом деле собственная функция оператора Т с
собственным значением ехр(-ima). Заметим, что интересующие нас в этом
случае функции будут периодическими функциями угла ф с периодом 2я,
поскольку при прибавлении к ф величины 2я получаем тот же самый вектор г.
Функции типа exp (imcp) будут иметь это свойство, если только т - целое
число (положительное или отрицательное). Даже при данном ограничении
оператор Т все еще имеет бесконечное множество собственных значений, в
чем отражается бесконечная размерность функционального пространства. J
Линейная алгебра и векторные пространства
63
Е. Еще один пример индуцированного преобразования функций
В качестве еще одной иллюстрации преобразования, индуцированного в
функциональном пространстве, рассмотрим квадратичные функции из § 2, п. Г
с операцией поворота R на угол 2я/3 вокруг оси z. В случае функции фх=а:2
из формулы (3.38) получим
T(RxHx = za,
где в силу формулы (3.39) и сказанного в § 8, п. А имеем х=х cos 2я/3+у
sin 2я/3= (-1/2)х+ (3/4)1/гг/. В результате получаем Т (К1)'ф1= (VJz2-
