Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(зиУ/гху+ (3/4)у2= ОМФх- - (3/4)1/2,Фв+(3/4)фа, и, таким образом, фх
преобразуется^ линейную комбинацию шести функций ф;.
Ж. Трансформированный оператор
В § 4 мы определили трансформированный оператор S'=TST-1, представляемый
той же матрицей в трансформированном базисе е,=Тег, что и оператор S в
первоначальном базисе е*. Выберем в качестве примера оператор S типа
обсуждавшихся в § 8, п. В, а также функциональное пространство и
преобразование Т, разобранные в том же пункте. В частности, пусть
оператор S есть оператор умножения на функцию sin Зф, вектор ф равен совф
и преобразование T=T(R(a)), так что Тф=соз(ф- -а). Таким образом, напишем
ф' = Тф = соз (ф-а), ф = Бф = sin Зф cos ф, ф' = Тф = sin 3 (ф-а)соз(ф-
а),
так что трансформированный оператор S', определяемый соотношением
5'ф'=ф', в данном случае есть простор оператор^ умножения HaJ[функцию sin
3 (ф-а).
ЛИТЕРАТУРА
Подробнее относительно линейной алгебры см.
Birkhofj G., Maclane S., A Survey of Modern Algebra, Macmillan, London,
1965"
64
Глава 3
ЗАДАЧИ
3.1. Покажите, что в трехмерном физическом пространстве скалярное
произведение векторов вида (г4, r2)=|rl||r2|cos 0, где 0 - угол между
векторами г4 и г2, удовлетворяет требованиям, предъявляемым к скалярному
произведению (§ 1).
3.2. Покажите, что если - одномерное подпространство, заданное векторами
(а, а, 0), то его ортогональное дополнение L,2 определяется векторами
(Ь,-Ь, с), и представьте вектор
(1, 2, 3) в виде суммы двух векторов, один из которых принадлежит
подпространству Лц а второй - подпространству Ь2.
3.3. Пусть скалярное 'произведение двух функций есть (/, g)=
= ^ } (х)* g (x)dx. Покажите, что функции fo(x)={1/2)1^ и -1
/j(a:)=(3/4) !гх ортонормальны. Воспользуйтесь методом орто-гонализации
по Шмидту для построения квадратичной функции /2(ж), ортонормальной
функциям /0 и /,. Аналогичным способом постройте кубическую функцию
f3(x).
3.4. Взяв функции fn(x) из предыдущей задачи в качестве базисных векторов
и Т=х2 в качестве оператора, по формуле (3.21) вычислите матричные
элемепты Т,п. Т1Х и Т02.
3.5. Покажите, что оператор Т из предыдущей задачи эрмитов, и рассмотрите
граничные условия, которые следует наложить на функции / (х) на отрезке
[-1, 1], чтобы оператор id/dx был эрмитовым, если скалярное произведение
имеет тот же вид, что и в задаче 3.3.
3.6. Пусть преобразование R есть поворот вокруг оси г на 90°. Для трех
единичных векторов е/, направленных вдоль осей х, у и г, найдите Re,=e;\
По формулам (3.38) и (3.39) или (3.40) вычислите индуцированное
преобразование Т (R) ф (г), где ф (г) есть: а) х, б) у, в) х2 и г) ху.
Выполните то же самое, если R - поворот вокруг оси z на 45°.
3.7. Исходя из функции / (х, у)=х2, методом ортогонализации по Шмидту
постройте ортонормированный базис в пространстве функций х2, у2 и ху
предыдущей задачи, если скайярное про-
1 1
изведение имеет вид (/ (х, у), g (х, у))= ^ dx ^ dy / {х, у) g(x, у).
-1 -I
Найдите матрицу Т (R), где R - поворот на 90° относительно оси 2.
Приведите матрицу к диагональному виду, определите собственные значения и
собственные векторы.
3.8. Пусть R - оператор поворота вокруг оси z на 45°, а Т - оператор
поворота вокруг оси х на 90° .[[Покажите геометрически, что TRT-1 есть
гоператор поворота вокруг оси у против часовой стрелки на 45° (поворота
вокруг оси -"у). Подтвердите этот результат, перемножая матрицы
соответствующих операторов в базисе ел., еу, ez. [Это частный случай
общего соотношения (2.12).]''
3.9. Покажите, что'.'если оператор S есть д/дг/, то трансформированный
оператор TST-1 в обозначениях формулы (3.38) есть д/дг,-.
4
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
В двух предыдущих главах были введены два математических понятия: группы
(гл. 2) и векторного пространства (гл. 3). Теперь мы объединим эти два
понятия и рассмотрим взаимосвязь между элементами группы и
преобразованиями векторного пространства. В этой главе, начиная с § 6 и
далее, нам в ряде случаев понадобится вычислять сумму по всем групповым
элементам. Для конечных групп это не составляет труда, но в бесконечных
группах (гл. 2, § 2) суммирование заменяется интегрированием и возникает
проблема сходимости интегралов. Исследование данного вопроса мы оставим
до гл. 7, а пока скажем лишь, что в большинстве интересных с физической
точки зрения непрерывных групп сумму можно заменить интегралом, если его
определить соответствующим образом.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ
Если в векторном пространстве L можно найти набор Т линейных операторов Т
(Ga) (гл. 3, 5 3), которые соответствуют элементам Ga группы 'ё в том
смысле, что
T(Ge)T(G6) = T(GaG6), Г(Е) = 1, (4.1)
то такой набор Т называется "представлением" группы % в пространстве L.
Таким образом, представление группы % есть "отображепие" элементов Ga на
^операторы Т (GJ в векторпом пространстве L. Если размерность
пространства L равна s, то представление называют s-мерным. Пространство
L называют пространством представлений Т. г_! Представление Т (Ga)
