Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пройдя три остальные стороны четырехугольника. Это будет движение сначала
против направления Т, соответствующее обратному оператору т-1, затем
движению по S и, наконец, по Т. В результате мы вновь получаем S'=TST-1.
В более общем случае оператор Т может переводить вектор из пространства L
в другое пространство L', так что векторы г', г' и оператор S'
принадлежат пространству L'.
В примере с обуванием и разуванием мы можем рассматривать Т как операцию
надевания носка, a S - как операцию его заштопывания. Если носок уже на
ноге, то штопка становится более сложной процедурой TST-1, т. е. прежде
всего требуется снять носок (Т-1), затем его заштопать (S) и наконец
надеть снова (Т).
§ 5. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР, УНИТАРНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ
Оператор, сопряженный оператору Т и обозначаемый через Т+, по определению
удовлетворяет уравнению
(г. Tts) = (Tr, s) (3.25)
54
Глава 3
для любых векторов гнев пространстве L. В частности, выбирая г=ег, s=е7-
и используя уравнение (3.20), получим, что в ортонормированном базисе
матрицы И и Т связаны соотношением
(T% = W- (3-26)
Унитарный оператор проще всего определить так: оператор Т является
унитарным, если удовлетворяет условию
Т' Т = Е (3.27)
или, другими словами, если
Tt=T-i. (3.28)
Такое условие важно тем, что при этом скалярное произведение сохраняется,
т. е. если мы возьмем г'=Тг и s'--Ts, то
(г', s') = (Тг, тй) = (г, Tt Ts) = (г, s). (3.29)
Это означает, что если векторы ег образуют ортонормиро-ванный базис, а
е'=Тег, то векторы е) образуют новый ортонормированный базис. Таким
образом, унитарный оператор есть оператор перехода от одного ортонормиро-
ванного базиса к другому.
Элементы унитарной матрицы, очевидно, связаны между собой соотношением
(3.28). Подробнее это записывается так:
Т- *7,7,* = 6*. (3.30а)
1=1
2 T;jT*ki=bik, (З.зоб)
/=1
хотя (3.306) есть следствие равенства (3.30а). Если матрица Т
действительная, то Т+ будет транспонированной матрицей и звездочки в этих
двух формулах не нужны. Унитарная действительная матрица называется
"ортогональной".
Эрмитовым или самосопряженным называют оператор, равный своему
сопряженному. Таким образом, оператор Н эрмитов, если
Н+ = Н, (3.31)
Линейная алгебра и еекторные пространства___________§§
откуда следует равенство
(Нг, в) = (г, Hs) (3.32)
при любых Г И S.
В заключение подчеркнем, что понятия унитарных и эрмитовых операторов
имеют смысл только тогда, когда полностью определены векторное
пространство и скалярное произведенпе.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Если в векторном пространстве L задан оператор Т, то можно поставить
вопрос: существуют ли в пространстве L векторы г, обладающие весьма
специальными свойствами, а именно такие, что трансформированный вектор Тг
будет равен просто вектору г, умноженному на константу? Другими словами,
можем ли мы по заданному оператору Т найти векторы г, удовлетворяющие
соотношению
Тг = Ях (3.33)
при некоторых А,? Для решения этой задачи лучше всего написать выражение
для вектора г в некотором базисе ег; тогда с учетом формулы (3.19)
получим
2 TurJ = Xri'
/ = 1
т. е.
2 (Ти-Ми)Г/ = 0 (1 = 1,2,...,*), (3.34)
/ = 1
где гj - компоненты вектора г. Система s линейных однородных уравнений с
s неизвестными [формула (3.34)] совместна, если детерминант ее
коэффициентов равен нулю. Это дает нам полиномиальное уравнение s-й
степени по X, s корней которого X называют собственными значениями
оператора Т. Каждому корню Xt соответствует решение г=?', называемое
собственным вектором оператора Т. Система (3.33) однородна, а потому мы
вправе еще и нормировать произвольным образом. Далее, если оператор Т
эрмитов, то его собственные векторы взаимно ортогональны или могут быть
ортогонализо-ваны. Таким образом, из собственных векторов эрмитова
56
Глава 3
оператора можно составить ортонормированный базис в пространстве L.
Ортогональность доказывается просто: из равенств
т|' = *,1Л
Т & =
вытекает равенство* (|Д) Т|')-(?', ТЕ/)*=?д(ЕЛ %?)-
k*/(E'\ V)*, а потому (|Л П0~(Т|Л V)=(^-А/)(1Л ЕО н, следовательно,
(^-я,;)(5Л &') = (ЕЛ т?0-(ЕЛ тёО=о,- (3.35)
с учетом свойства^(3.32) эрмитова оператора Т]. Положив в этой формуле
i=j, мы получим hi-A,j =0. Итак, все собственные значения оператора Т
действительны. Далее, при Ьф], полагая Ь1Ф'к), получаем соотношение
ортогональности
(ЕЛ V) =
а после нормировки для собственных векторов эрмитова оператора имеем]|
КЕЛ ЕЛ = б,7. (3.36)
Эту формулу можно вывести даже при ht=hj. Действительно, хотя приведенное
выше доказательство ортогональности в этом случае не верно, рассмотренная
в § 1 ортогонализация по Шмидту позволяет построить орто-нормированпый
базис внутри совокупности вырожденных собственных векторов (т. е.
собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному
значению). Здесь существенным оказывается то обстоятельство, что всякая
линейная комбинация вырожденных собственных векторов сама есть
собственный вектор.)
