Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 12

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 122 >> Следующая

оси к', связанной с ис-
Групп" и их ctodcmta
35
(2.11)
(2.12)
ходной осью к соотношением
к' = Rk;
другими словами,
RRk(a)R-1 = Rk- (а).
Если представить себе, что операция R переводит все векторы из старых
положений в новые (обозначенные штрихом), то результат почти очевиден.
Правая часть равенства (2.12) - это поворот вокруг новой оси к на угол а.
Операция в левой части равенства - это перевод вектора из нового
положения в старое, поворот вокруг старой оси к, а затем возвращение
вектора из старого положения в новое. Для более строгого доказательства
рассмотрим равенство
[RRk (a) R"1] k' = RRk (а) к = Rk = к' (2.13)
с учетом равенства (2.11) и того обстоятельства, что поворот, ось
которого совпадает с направлением вектора, оставляет этот вектор без
изменения. Но, согласно формуле (2.13), левая часть равенства (2.12)
оставляет на месте вектор к'; следовательно, эта операция мо- Р" жет быть
только поворотом вокруг направления к'. Наконец, чтобы показать, что угол
поворота а не меняется, построим два единичных ортогональных вектора et и
е2 в плоскости, перпендикулярной к.
Из рис. 2.2 видно, что
Rk (а) ег = cos а ег + sin а е2.
(2.14)
Поворот R в соответствии с равенств ом(2.11 )переводит к в к', а в! и е2
преобразует в два новых единичных ортогональных вектора ei=Re* и e2=Re2,
лежащих в плоскости, перпендикулярной вектору к'. Теперь мы имеем
аналогично (2.14)
Rk' ((r)) (c)1 = cos й -f- sin a е2; (2.15)
36
Глш*в 2
но, с другой стороны,
[RRk (a) R-1] е( = RRk (а) е4 = R (cos a e1^-sin аег) =
= cos и е( "I- sin fit e2j
сравнивая это выражение с (2.15), мы видим, что равенство (2.12)
доказано.
^ Итак, классы группы &13 очень простые. Поскольку операция вращения R,
переводящая направление вектора к в произвольно заданное направление к',
существует^' всегда, любые два поворота на одинаковый угол вне
зависимости от того, вокруг каких осей они осуществляются, будут
относиться к одному и тому же классу. (Разумеется, мы рассматриваем
только такие повороты, оси которых проходят через фиксированное начало
координат.) В то же время равенство (2.12) показывает, что два поворота
на разные углы не могут принадлежать одному и тому же классу, поскольку R
- произвольная операция.
Б. Конечная группа вращений _D3 (§ 2, пример 6)
Выбрав эту подгруппу группы 5?3, мы можем искать классы сопряженных
элементов на основе равенства (2.12). Из него следует, что для того,
чтобы два элемента группы принадлежали одному классу, они должны отвечать
поворотам HaJодинаковый угол. Но это условие не является достаточным. В
дополнение к нему элементом группы D3 обязан быть и поворот R,
переводящий к в к'. Таким путем можно установить, что в данном случае
имеется три класса:
gx = E,
"'*={R1, R2}. (2-16)
?3 = {R3, R4, RJ.
^Как обычно, единичная операция сама по себе образует класс. Операции Rx
и R2 соответствуют углу поворота 2я/3, a, R3, R4 и R5 - повороту на п (R2
можно рассматривать либо как поворот на 4я/3 вокруг положительного
направления оси г, либо как поворот на 2я/3 вокруг противоположного
направления). Таким образом, помимо должны существовать еще по крайней
мере два класса.
Vpgnna а из сшойспия
37
Чтобы показать, что элементы Rf и R2 попадают в один класс, следует найти
операцию вращения, переводящую ось Rf в ось R2. Но это просто инверсия
осп z, достигаемая при операциях Rs, R4 и R8. Аналогично повороты Ri и R2
переводят друг в друга оси Rs, R4 и R6. Именно:
R2 = RsR1Rj1, R3 = R1R4R4;1 = R2R6Rj1.
В. Симметрическая группа if 3 (§ 2, пример 10)
Группа if з разбивается на классы аналогично группе D3, так как эти
группы изоморфны. Имеем
U1 2 3\ /12 3\ /1 2 ЗМ
^3==\V2 1 3/' \3 2 1)' VI 3 2/J '
Заметим одну общую особенность элементов группы все они при перестановке
оставляют на месте одно из чисел, тогда как два элемента группы if2
перемещают все три числа. Это характерно для структуры классов группы ifn
при произвольном п, но более подробное исследование данного вопроса мы
оставим до гл. 17 (т. 2).
§ 8. КЛАССЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Классы группы прямого произведения легко
установить, зная классы групп Ъ и Ж, следующим образом. Предположим, что
элементы GaH& и GcHd принадлежат одному и тому же классу. Тогда по
определению должен существовать некоторый элемент GeH/, такой, что
GeHfGaHb{GeHf)-' = GcHd, {GeGaG?){HfHbHj') = GcHd,
откуда
GeGaG71 = Ga, =
Отсюда видно, что Ga и Gc принадлежат одному и тому же классу группы S, а
Н6 и Hd - одному и тому же
Г лага &
классу группы Ж ¦ Таким образом, в классе группы ЪуЖ будут содержаться
все произведения элементов GaHb, где Ga пробегает целиком некоторый класс
группы Ъ, а Нь пробегает класс группы Ж. Каждой паре классов, одному из а
другому из Ж,убудут соответствовать один класс в группе ЪуЖ. Щ |
Рассматривая в качестве примера полную ортогональную группу 03, мы можем
теперь видеть, что каждому углу поворота а соответствуют два класса
сопряженных элементов. В один из них попадают все собственные вращения
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed