Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Выражения для производных по направлению, которые можно найти, например, в [37, стр. 63; 38*], записываются следующим образом:
г
9*
Фиг. 6.1
260
Глава S
Следовательно, для матрицы Р имеем
0
(-дУдх2 - дР/дг2) О
дР/дг дх О
- д2/дх2
О
д2/дп2
О
и общее уравнение для Е принимает вид
' Si + sin2 р(д2!дп2) 0 — sin р cos р {tf/dti2) 1
А1 0 д?1дп2 + S2 . О и: =0,
sin р cos р (dVdra2) О S2 + cos2 р {сР/дп2) J
откуда
i (sin2 р ^ + S^ - sin р cos р ф-) + j (S2E2 + ^) +
Приравнивая коэффициент при j нулю, получаем волновое уравнение для Ег, совпадающее с уравнением, приведенным в п. 4.1, за исключением лишь того, что в данном случае в это уравнение входит вторая производная по п, а не по х. Это означает, что у-компонента поля Е распространяется вдоль нормали со скоростью l/Уц/Сг, не зависящей от направления нормали. Данная компонента является частью'обыкновенного волнового фронта, и ее скорость, только что найденная, совпадает со значением скорости, полученным в пп. 4.1 и 4.2. Теперь уже нельзя считать поле Е чисто поперечным, т. е. что вектор Е лежит в плоскости а (разумеется, ^-компонента поля Е расположена в плоскости а просто в силу выбора направления оси у). Если абсолютную величину вектора Е обозначить как |2? |, то
Здесь F — величина компоненты поля Е в плоскости хг. Удобно оперировать с поперечной и продольной составляющими компоненты F. Обозначим их, скажем, А и С соответственно. Используя известные формулы преобразования координат при повороте координатных осей (см., например, [37, стр. 6, 38*]), имеем
+ k (- sinpcosp-gi- + S2E3 + cos2p =0.
\Ef = E2i + El-\-E23^Et-\-Fs,
где F2=zE\ + El
E\ = A cosp — Csinp, ?3 = .4sinp + CcosP.
Распространение сеета в кристаллах
261
В общем уравнении для Е приравняем нулю коэффициент при I и подставим написанные вьнцё выражения для Et и Е3. После простых преобразований полученного таким образом соотношения имеем следующее уравнение:
Si/4 cosp — SyC sin p — sin p= 0.
В результате приравнивания нулю коэффициента1 при к находим
г)2Г
cos P-^F + S2/4 sin p -f- S2C cos p = 0.
Исключая А из этих двух последних уравнений (посредством умножения первого из них на S2 sin р, а второго — на Si cos р и последующего вычитания одного из другого), приходим к уравнению
(S, cos2 Р + S2 sin2 Р) + S,S2C = 0.
Подставляя вместо S! и S2 их выражения через ц и Ks и учитывая то, что умножение на —а»2 равносильно двойному дифференцированию по времени, получаем
д2С
1
д2С
1 д2С
дп2 cos2 р/ц/С2 + sin2 р/ц/Ci dt2 ~ N2 dt2 '
Сравнивая это уравнение со стандартной формой волнового уравнения, нетрудно установить, что плоские волны поля Е распространяются со скоростью N в направлении, определяемом углом р. (Если р = 0, то N=l/i/nK2, тогда как при р = я/2 ЛГ=1/Уц/С1. Эти простые результаты согласуются с выводами, полученными в пп. 4.1 и 4.2.)
Теперь найдем магнитное поле, используя формулу
Я = Ат АЕ. V цш/
Поскольку все производные по у равны нулю, эту формулу можно записать в виде
Н = (±-) Дт
\1Ш/
0
+ d/dz 0
-djdz
0
+ д/дх
0
— д/дх 0
или
я=Ш[-'ж+|(
dEt
дг
дЕ3
дх
Ех
Е2
Ез
дЕг
) + *-?]•
262
Глава 5
Отсюда, применяя формулу дифференцирования по направлению, получаем
Компонента поля Я в плоскости хг равна (дЕ^дп)[—i sin р 4* + k cos р]. Скорость распространения этой компоненты такая же, как и для дЕ2/дп, т. е. такая же, как и для поля Е, а именно
рость одна и та же. Таким образом, это поле Я является Я-частью обыкновенной волны и она перпендикулярна f-части обыкновенной волны. Можно видеть, что поле Я чисто поперечно. Действительно, тангенс угла ф, который поле Я образует с осью х, дается выражением
так что направления, определяемые углами ф и 0, перпендикулярны друг другу. Далее, «/-компонента поля Н равна sin ${dEi/dti)—cos $(дЕ3/дп). После подстановки сюда выражений для Ei и Е3 через А и В получаем —дВ/дп. Таким образом, Я-компонента распространяется с той же самой скоростью, что и В, и, следовательно, представляет собой Я-часть необыкновенной волны.
Поскольку поле направлено вдоль оси у, то оно перпендикулярно как электрическому полю, так и направлению распространения волны. Иными словами, поле Н является поперечным как в обыкновенной, так и в необыкновенной волне.
Найдем теперь величину D. Поскольку наше рассмотрение связано с анизотропным кристаллом, то нельзя считать, что D и Е имеют одно и то же направление. Из полученного выше уравнения получаем
дЕ 1 дп
1/У(**2, причем для всех направлений распространения ско-
х-компонента Н
z-компонента Н
tgf tgP= — 1,
= rot Н = Ат АЯ =
dt
[О — д/дг О 1ГЯ,-
+ д/дг 0 —д/дх Я2 =
О +д!дх 0 -1ья3:
дНг , , ( дН, дН3 \ , дН2
Распространение света в кристаллах
263
Так как нам известно, что дифференцирование по времени t эквивалентно умножению на со и на фазовый множитель, то компоненты поля D пропорциональны соответствующим компонентам dD/dt, причем г/-компонента поля D лежит в плоскости волнового фронта. Для угла S, который компонента поля D в плоскости xz составляет с положительным направлением оси х, имеем
