Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
/ = 2A2, Q = 0, U = 2A2 cos я/4, v = — 2A2 sin (я/4).
Пропустим луч через поляризатор, ориентированный под углом 0, и найдем его интенсивность на выходе. Следует заметить, что нужно использовать только первую строку матрицы Мюллера поляризатора. Результирующая интенсивность равна
2 А2
0
V2* А2 L — уТ A2 J
/, = (|/2)[1 cos 20 sin 20 0]
= Л2(1 + (sin 20)/д/2 ).
Матрицы для описания состояния поляризации света
241
Очевидно, это выражение имеет максимум, когда sin 20 = 1, т. е. когда 0 = 45°, причем максимальное значение интенсивности равно _
Когда плоскость пропускания поляризатора параллельна оси Оу, т. е. 0 = 90°, и, следовательно, sin 20 = 0, интенсивность равна А2. Таким образом, мы имеем следующее отношение интенсивностей:
Если для вычисления интенсивности мы хотим использовать метод Джонса, сначала нужно написать вектор Максвелла для входного пучка, а именно
После прохождения света через поляризатор, ориентированный под углом 0, вектор Максвелла принимает вид
Как и обычно, найдем интенсивность пучка, умножая этот вектор Максвелла на комплексно сопряженный ему транспонированный вектор. При этом
И 1тенсивность —
=/42 [cos2 0+sin 0 cos 0 ехр (+/л/4) sin 0 cos 0+sin2 0 exp (+/л/4)] X
что приводит нас к результату, полученному выше, а именно
Пример 7
Эллиптически-поляризованный свет с правым вращением плоскости поляризации описывается эллипсом, характеризуемым большой осью Н и малой осью К. Этот световой пучок проходит через поляризатор, плоскость пропускания которого ориентирована под углом а относительно большой оси эллипса,
Л2(1 + 1/У2 ).
1,707: 1.
[
А
]
А ехр (— /л/4)
ехр (—in/4)
Г cos2 0 А\ а •
L cos 0 sir
cos 0 sin 0
cos2 0 -f sin 0 cos 0 exp (— in/4) sin 0 cos 0 + sin2 0 exp (— in/4)
]
cos2 0 + sin 0 cos 0 exp (—in/4) sin 0 cos 0 + sin2 0 exp(— in/4)
]¦
A2\_l + (sin 20)7^2 ].
242
Глава 4
Доказать, что интенсивность пучка, прошедшего через поляризатор, дается выражением
/ = Н2 cos2 а + К2 sin2 а.
Решение
Если считать, что большая ось эллипса горизонтальна, то вектор Максвелла для падающего пучка можно записать в виде
\н ЫЯ1
L К ехр (/я/2) J L г/С J
[См. состояние поляризации типа 4 в приложении III.] Умножая этот вектор на матрицу Джонса поляризатора, находим вектор Максвелла на выходе поляризатора:
[cos2 a sin0cosa"]r HI Г Н cos2 a -f- iK sin a cos а 1
sinacosa sin2a J L iK J L H sin acos a + iK sin2 a J ‘
Произведение вектора Максвелла на комплексно сопряженный ему транспонированный вектор дает интенсивность:
[Н cos2 a — iK sin a cos a Я sin a cos a — iK sin2 a] X
[H cos2 a -f iK sin a cos a 1
H sin a cos a + iK sin2 a J'
После умножения и упрощения полученного выражения найдем искомый результат.
Интересно отметить, что этот результат легко проверить экспериментально, используя для измерения интенсивности фотоэлемент; таким образом, мы получаем прямое подтверждение теорий эллиптически-поляризованного света. Эти результаты можно также получить, хотя и не столь просто, рассматривая геометрию эллипса в соответствующих координатах. [Для пучка света с левым вращением плоскости поляризации вычисления полностью аналогичны, за тем лишь исключением, что знаки при всех мнимых частях (перед i) меняются на противоположные. Однако, поскольку мы ищем произведение сопряженных векторов, эти мнимые члены исчезают.]
Пример 8
Требуется построить теорию фотоупругости, используя векторы Максвелла и матрицы Джонса.
Решение
Для решения этой задачи удобно рассматривать поляризаторы, ориентированные под углами 45 и —45° (в обычных обозначениях) относительно оси Ох. Предположим, что для исходного пучка света Н — К =Л (следовательно, интенсивность
Матрицы для описания состояния поляризации света
243
равна 2 единицам). Исходный луч считаем линейно-поляризованным. Таким образом, его вектор Максвелла имеет вид
[!]•
Для первого поляризатора 0 = 45°, т. е. cos 0 = sin 0 = 1/д/2 , и матрица Джонса записывается в виде
Г 1/2 72]_J_r 1 1]
L Va '/2 J 2 L 1 1-Г
Для второго поляризатора 0 = — 45°, т. е. cos0=l/V2, a sin 0 = — 1/л/2» и матрица Джонса принимает вид
г ¦/. -'/.i=±r ' -и
L —'/г 7,1 2 L—1 1Г
(Эта матрица приведена в табл. 4.2). Используя формулу для линейной фазовой пластинки, чтобы описать изменение состояния поляризации света, проходящего через какую-либо точку исследуемого образца, можно найти вектор Максвелла для выходного пучка:
—i[J 1]х
Второй
поляризатор
[cos2 а + sin2 а ехр (— гб) cos а sin а {1 — ехр(— /б)} 1 cosasina (1 — ехр(—/б)} sin2а + cos2а ехр(—ib) J ^ Фазовая пластинка
xi[! !][!]:
Первый Исходный поляри- луч затор
После перемножения получим
С/2) (cos 2a) {1 - ехр(- /б)} [ _) ] = G [ J ].
Для того чтобы найти интенсивность прошедшего пучка света, как уже отмечалось выше, нам необходимо умножить вектор Максвелла на комплексно сопряженный ему транспонированный вектор:
Интенсивность = ЕЕ = GG [1 — 1 ] Г ^ 1 = 2GG.
244
Глава 4
Это выражение можно преобразовать к виду
Интенсивность = 2 cos2 2а sin2 (6/2) = /.
Поскольку интенсивность исходного пучка света /0 = 2, то
