Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
и волновое уравнение для Е записывается следующим образом:
В этом уравнении при i стоит лишь один член; следовательно, Е1 должно быть равно нулю. Иными словами, вектор Е не имеет составляющей вдоль оси х, т. е. вдоль нормали к волновому фронту, так что в данном случае поле Е является полностью поперечным.
Выражая S2 через К2 и учитывая, что умножение на —со2 эквивалентно двойному дифференцированию по времени /, получаем (приравнивая нулю по отдельности у- и 2-компоненты левой части приведенного выше уравнения)
Сравнивая полученное выражение с общеизвестной формой волнового уравнения
'0 0 0 ' Р= 0 - дР/дх2 0
-0 0 - дР/дх2 -
-St 0 0
Лт О S2 + d2/dх2 0 Е = 0.
-0 0 S2 + д2/дх2 -
После умножения этих матриц получаем
0
д2Ф 1 д2Ф ~дх
Распространение света в кристаллах
257
можно показать, что у- и х-компоненты поля Е распространяются вдоль оси х как волны со скоростью l/Уц/С2-
Пользуясь установленным для Я общим выражением, а также учитывая тот факт, что величина Е\ и все производные по у и г теперь равны нулю, находим
О о о 1—. - 0 '
? 1 о о е2
Lo +д/дх 0 J L Е31
1 Г 1 дЕз I 1с а?а 1 цю L 1 дх ^ дх J ‘
Из этого уравнения для Я видно, что а) х-компонента поля Я отсутствует; иными словами, Я, как и Е, полностью поперечно;
б) если Е2 = 0, то Я направлено строго вдоль оси у, тогда как если Е3 — 0, то Я направлено вдоль оси г (пп. «а» и «б» говорят о том, что поля ? иЯ взаимно перпендикулярны); в) для волн, распространяющихся без изменения волнового фронта, колебания дЕг/дх должны распространяться с той же самой скоростью, что и волна Е2; то же самое относится и к составляющей Е3. Следовательно, как у-, так и z-компонента поля Я распространяются с той же самой скоростью, что и поле Е, т. е. со скоростью \/-у/цК2. Таким образом, в этом направлении скорости распространения обыкновенной и необыкновенной волн совпадают. Это согласуется с хорошо известным фактом, что для 'волн, распространяющихся вдоль оптической оси одноосного кристалла, двойное лучепреломление отсутствует.
4.2. Второй частный случай распространеиия плоской волиы через одиоосный кристалл
Рассмотрим плоские волновые фронты, перпендикулярные оси z, так что все производные по х и у равны нулю. Поскольку величины S2 и S3 равны друг другу, то из соображений симметрии следует, что рассуждения, аналогичные приведенным выше, могут быть проведены и для волновых фронтов, перпендикулярных оси у, с той лишь разницей, что у и z всюду просто поменяются местами. Так как div Н = 0 и производные по х и у, согласно предположению, равны нулю, то дН3[дг = 0; следовательно, Я3 также равно нулю, поскольку мы рассматриваем поля без постоянной составляющей; иными словами, в данном случае поле Я является полностью поперечным. Матрица Р имеет вид
[-д2/дг2 0 01
0 — д2/дг2 0 ,
0 0 0-
9 Зак. 774
268
Глава 5
а уравнение (5.6) записывается следующим образом:
[Si + &1д2? О О I
О Sa + dVdz2 0 ? = О,
О О S2J
т. е.
1 (Sj+-&) Е>+i (s*+-?-) ^+к^з=О,
Здесь снова при к имеем только один член; следовательно, Еэ = = 0. Это означает, что у поля Е отсутствует z-компонента, т. е. Е, подобно Н, является опять чисто поперечным полем. Приравнивая остальные два члена нулю, подставляя значения $\ и Sa и учитывая, что умножение на —юа равносильна двойному дифференцированию по времени, получаем следующие два уравнения:
Сравнивая эти уравнения с общим волновым уравнением, мы видим, что Е1 и представляют собой плоские волны, распространяющиеся вдоль оси г, но с разными скоростями: волиа Ej имеет скорость l/V^/fi, а скорость волны Е2 равна l/д/ц/С2. Таким образом, волна Е2 распространяется с точно такой же скоростью, что и волны Е2 и Е3 в случае распространения последних вдоль оси х. Следовательно, мы имеем две волны, поляризованные под прямым углом друг к другу и распространяющиеся вдоль оси г с различными скоростями. Оказывается, Ез связано с обыкновенным волновым фронтом, a Ei — с необыкновенным. Снова воспользуемся общим выражением для Я и тем обстоятельством, что производные по х и у, а также Е3 равны нулю. Таким образом, имеем
и
Я = 4-[1 j к]
откуда
Для того чтобы форма волны не менялась, производная дЕ2/дг должна иметь ту же скорость распространения, что и Е2, а дЕх/дг ту же скорость, что Е{. Следовательно, а) поле Я не
Распространение света в кристаллах
239
имеет z-компоненты, т. е. является чисто поперечным; б) скорости распространения ^-компоненты поля Н и «/-компоненты поля Е одинаковы. (Это обыкновенная волна.); в) «/-компонента поля Я распространяется с той же скоростью, что и лг-компо-нента поля Е. (Это необыкновенная волна.) Таким образом, обыкновенная и необыкновенная волны поляризованы под прямым углом относительно друг друга.
4.3. Более общий случай распространения плоских волн в одноосном кристалле
Допустим, что поле Е постоянно вдоль плоскостей, параллельных оси у (подобных плоскости а на фиг. 5.1), так что все производные по у равны нулю. Пусть эти плоскости образуют угол 0 с положительным направлением оси х, так что угол между нормалью к этим плоскостям и осью х равен 0 — я/2 = р. Все производные от ? и Я по направлениям, лежащим в плоскости ос, будут равны нулю. Так, на фиг. 5.1 dE/dq — 0.
