Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
, v г-компонента D _ дН2/дх ____ cos ft (дН2/дп) _ , „
^ ^-компонента D — дН2/<dz — sin р (дН2/дп) с S Р
(здесь мы использовали формулу для производной по направлению) . Следовательно,
tgStgP= — 1,
так что компонента поля D в плоскости xz лежит в плоскости волнового фронта. Это означает, что поле D, подобно Н, является чисто поперечным. (То же самое относится и к В, которое равно Н, умноженному на скалярную величину ц.) Последнее утверждение, очевидно, справедливо как для обыкновенной, так и для необыкновенной волны. Таким образом, и в обыкновенной, и в необыкновенной волне обе величины D и Н поперечны, однако поле Е может и не быть поперечным.
§ 5. ВОЛНЫ ГЮЙГЕНСА В ОДНООСНОМ КРИСТАЛЛЕ
Мы показали, что скорость N плоского волнового фронта, нормаль к которому составляет угол р с осью х, дается выражением
yV2 = F2cos2p+y2sin2p>
где Ff = 1/ц/С2 — квадрат скорости волновых фронтов, бегущих вдоль оси х, a F|= 1 /ц/С, — квадрат скорости волновых фронтов, распространяющихся вдоль оси г.
В анизотропной среде энергия волнового возмущения перемещается вместе с волновым фронтом. Поток энергии направлен не вдоль нормали к волновому фронту, а вдоль вектора Пойнтинга. Таким образом, если рассмотреть точечный источник (излучающий волны Гюйгенса) в среде, то для каждого интервала времени найдется некоторое направление вектора Пойнтинга, двигаясь вдоль которого энергия достигнет точки пересечения вектора Пойнтинга с соответствующим волновым фронтом. Рассмотрим лучевую поверхность, определяющую распределение энергии возмущений, испущенных источником одновременно по различным направлениям, спустя короткий интервал
264
Глава б
г
О
Фиг. 5.2
времени порядка одной пикосекунды. Эта поверхность будет огибающей всех плоских волновых фронтов, соответствующих различным направлениям распространения (фиг. 5.2).
Точка пересечения Q данного волнового фронта (спустя одну пикосекунду после прохождения через начало координат) с собственной нормалью (проведенной через точечный источник под углом р к оси х) имеет координаты N cos р, N sin р (N измеряется в метрах за пикосекунду). Наклон волнового фронта равен tg 0 = —ctg р. Следовательно, уравнение, описывающее волновой фронт, имеет вид
Уравнения для волновых фронтов, соответствующих иным направлениям, имеют такую же форму и отличаются друг от друга лишь различными значениями угла р и, следовательно, величины N. Для того чтобы найти огибающую этих волновых фронтов, исключим из уравнения (5.8) угол р и продифференцируем его по р (см., например, [37], стр. 171—174; [38*]). Дифференцируя уравнение (5.8) по р, имеем
{здесь мы использовали определение величины N). Умножим уравнение (5.8) на sin р, а уравнение (5.9) на cos р и сложим их:
или
г — N sin р = — ctg р (х. — N cos Р), xcosp + zsinp=*=iV.
(5.8)
z
= Wsinp +(-^-)cosp.
Распространение света в кристаллах
265
Если же уравнение (5.8) умножить на cos р, а уравнение (5.9) на sin р и вычесть одно из другого, то получим
х= N cosp— sin p.
dp
Подставим сюда выражения для dN/dfi через N и р, а затем N2 выразим через р. Тогда можно написать
z — -
V\ sin р
N
X =
Vfcos р
N
Из этих равенств имеем
N2 х2
У*!
sin2 р =
М2г2
Vt
После подстановки выражения для N и упрощений эти соотношения принимают вид
tg2P =
(1 -x>tv\)v\ x2vl
tg2P =
arV?
vt( \-f/V22)
Исключая из этих равенств tg2 р, после несложных преобразований окончательно получаем
—+ — = 1 v\ V\
Это уравнение описывает пересечение поверхности необыкновенных лучей (волн Гюйгенса) с плоскостью Охг.
Поскольку мы показали, что скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения, фронт обыкновенной волны Гюйгенса представляет собой сферу радиусом Vi — l/УмЛг- Параллельная оси х полуось эллипса, описывающего необыкновенную волну Гюйгенса, имеет длину V\. Это означает, что волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн
Фчг. 5,3,
ПРИЛОЖЕНИЕ I
АПЕРТУРНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕНТРИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЗ
Матричные методы, изложенные в гл. 2, позволяют провести расчет положения и увеличения изображения, даваемого оптической системой, однако вопрос о резкости изображения остается открытым. Дефекты резкости протяженного оптического изображения, получаемого в системе с достаточно большой апертурой, за исключением самых простых оптических систем, необходимо рассчитывать, используя теорию аберраций третьего и даже более высоких порядков. Тем не менее все же остается одна проблема, которую можно решить в рамках приближения первого порядка, а именно задача определения того, каким образом ограничители системы, ее конечные апертуры, реально ограничивают резкость формируемого изображения.
Любая линза системы имеет конечный диаметр, однако во многих случаях ограничители представляют собой реальные диафрагмы с непрозрачными краями, вводимые в систему специально; они могут служить, например, для задержки прямого света, рассеянного внутренней поверхностью трубы или предшествующими экранами, как это имеет место в коронографе. Иногда для фильтрации пространственных частот используют диафрагмы малого диаметра или обскуры.
