Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
Распространение света в кристаллах
253
Найдем теперь общее волновое уравнение для электрического поля. Будем предполагать синусоидальный характер зависимости от времени всех векторов поля; в частности, напряженность электрического поля дается выражением
& — Е sin (со/ + 0), где со — угловая частота, а 0 — фазовый угол. В таком случае
= (оЕ cos (Ш + 0)
и
= — (02Е sin (cot + 0) = — .
Следовательно, двойное дифференцирование по времени эквивалентно умножению на —со2.
3.2. Вывод волновых уравнений в матричном виде
Из уравнения (5.3) имеем
§¦----Лт4г- где В.
[]¦
В3-
Взяв rot от обеих частей этого равенства и замечая, что порядок дифференцирования можно менять, получаем
АтА (АЕ) = -АтА = - цАтА (см п> 2.б) =
й /1Тлт . д (dD\ d2D 2
— И Qt И А Я) — Qt ^ Qt j “ Qt2 — D
[для получения предпоследнего выражения мы использовали уравнение (5.4)].
Следовательно,
Лт(Л1-1)?==Ц(оМтО (см. п. 2.8).
До сих пор наше исследование носило общий характер, и его результаты можно применить к любой среде. Рассмотрим теперь волны, распространяющиеся в анизотропной среде. Это означает, что диэлектрическая проницаемость К не является обычной скалярной величиной и уравнение D == КЕ неприменимо. Теперь каждая компонента величины D зависит от всех трех компонент Е и уравнение D = КЕ принимает вид
D^KuEx + KuPi + KuEt,
D2 = КцЕ\ -(- К22Е2 ^2ъЕз,
254
Глава 5
В матричной форме эта система уравнений записывается следующим образом:
Г?>,-1 Г/Сп *12 /С13“J Г-Ei“I
U>2 = *21 К22 Кю\\е2 , LaJ L/c3I к,о
*¦2
к22
*32
*13-
*23
*33'
'El
е2
¦ Е3 ¦
или
D = KE,
где К — квадратная матрица. Кроме того, исходя из закона сохранения энергии, можно показать, что матрица К симметрична и путем соответствующего выбора координатных осей может быть приведена к диагональному виду, в котором все недиагональные элементы матрицы обращаются в нуль. Будем считать, что такая операция выполнена; тогда соотношение между D и Е запишется в виде
Г*1 г*. 0
d2 U = 0 *2
LdJ L о 0
О
О
*з-1
Е1 Е2 Е3 J
Заметим, что теперь нам достаточно иметь лишь один индекс для обозначения элементов квадратной матрицы.
Введем в рассмотрение следующее упрощающее предположение: будем считать, что две величины из трех Ks равны друг другу. В дальнейшем мы увидим, что это соответствует одноосному кристаллу. Допустим, что /С2 равно Кз• В окончательном виде наше соотношение выглядит следующим образом:
*: О L О
О
*2
О
:р.
*зЛ-?з-1
Волновое уравнение теперь принимает вид AT(M-L)E = li<i>2ATKEt
где |i и о — постоянные величины, и поэтому удобно ввести их в матрицу К• Определим новую матрицу S:
S = цю2/С,
т. е.
[5, 0 0 1 Г
0 s2 о 1 = 1 Lo о s3J L
H(o2Ki 0 0
о
цю2*2
0
Распространение света в кристаллах
255
Введем еще одну матрицу Р = М- L:
~ ( /— сч д2 д2
ду2 дг2 ) дх ду дг дх
П д2 / д2 д2 \ д2
Г дх ду V дх2 дг2) ду дг
д2 д2 ( д2
дх дг ду дг V дх2
—1
ду2) _
Таким образом, волновое уравнение принимает вид
Ат (S — Р)Е — 0. (5.6)
Мы получили общую форму волнового уравнения для Е. Покажем теперь, как можно найти Н по известному значению Е. Это нам потребуется в дальнейшем. Напишем одно из уравнений Максвелла:
ro,E = -f. —ц-^-. И-----------------(-JI) 5 rot Е dt.
Так как дифференцирование по времени сводится к умножению на со и увеличению фазы на п/2, то интегрирование по времени должно привести к делению на со и вычитанию из фазы п/2. Следовательно, если опустить фазовый множитель, то можно написать
I6-7»
Теперь применим этот формализм для исследования распространения плоских волн в кристалле.
§ 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В ОДНООСНОМ КРИСТАЛЛЕ
Читателю, вероятно, известно, что в таком кристалле почти вдоль всех направлений могут распространяться две плоские волны с различными скоростями, но в направлении оптической оси может распространяться только одна волна. Там, где существуют две волны, они всегда поляризованы под прямым углом относительно друг друга. Обыкновенная волна, которая соответствует сферическому волновому фронту Гюйгенса, всегда поляризована так, что колебания вектора электрического поля происходят в направлении, перпендикулярном главной плоскости1).
*) Главная плоскость одноосного кристалла определяется как плоскость, натянутая на оптическую ось кристалла и направление распространения луча. — Прим. ред.
256
Глава 5
Необыкновенная волна, которая соответствует эллипсоидальному волновому фронту Гюйгенса, поляризована таким образом, что колебания поля в ней происходят в главной плоскости. Ниже мы выведем все эти результаты, пользуясь развитой выше матричной формой уравнений электродинамики. Сначала рассмотрим два выделенных направления распространения воли: вдоль оптической оси кристалла и перпендикулярно к ней.
4.1. Первый частный случай, когда плоский волновой фронт распространяется параллельно оптической оси кристалла
- Рассмотрим волновые фронты, для которых значения Е и Н однородны вдоль плоскостей, перпендикулярных оси х, т. е. оси, связанной с конкретным значением Ki — диагонального элемента матрицы диэлектрической проницаемости. По определению, для этих волн все производные по у и г равны нулю; следовательно, матрица Р принимает вид
