Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
2.1.
Вектор V с компонентами Vi, V2 и У3 по осям х, у и г соответственно, записывается в виде
V = iK, + iV2 + kV3,
248
Глава S
где i, j и к — единичные векторы вдоль положительных направлений осей х, у и г соответственно.
Определим четыре матрицы — две строчные и две столбце-вые матрицы следующим образом:
-В
VT-[VX К2 V3]
ЛГ-[1 j к].
(транспонированная относительно V)
Равенство, определяющее вектор V, можно теперь написать в виде
W
или
V = [i j k]
V —[К, V2 V3]
^2 LF3J
i j
Lk J
= ATV,
= VTA.
2.2.
Скалярное произведение можно представить следующим образом. Допустим, мы имеем другой вектор, скажем
U = + }U2 + k?/3 = ATU,
где
-Г'
¦ иЛ.
причем UT = [Ul V2 U3].
Тогда скалярное произведение вектора U на вектор V равно U • V = V • U = t/,F, + U2V2 + U3V3.
Это скалярное произведение можно записать в любом виде: либо как
r*v
1«Л и* и3]
V2
= UTV,
Распространение света в кристаллах
249
либо как
2.3
[V1 v2 V3]
Векторное произведение двух векторов можно записать следующим образом:
V х и = i (V2U3 - V3U2) + j (У3?/, - У,t/3) + k (7,C/2 - V2UX) = = vt (- i u3 + k u2) + v2(iu3 - kUy) + v3 (- ш2 + j c/,).
Это выражение можно записать в виде jU3 + kU2-
} = [Vt v2 V3)X
[Vi v2 V3]
, + kU2l ,-k ?/, 4- iUt J
i U3-iU2 + }Ul
X
[
где
0 -k + j + k
+ k 0 — i
-j + i 0
Ш1
= VTaU,
Г 0 4-k -j-j a = | -k 0 + i
L+j -i OJ
aT =
(аналогично VXU = UTaFV, где aT — транспонированная матрица a),
0 -k +jl + k 0 — i I = — a.
-j +1 oJ
Далее нам потребуются матрицы, каждый элемент которых является не скалярной величиной, а дифференциальным оператором, например частной производной д/дх. Пользуясь такими операторами, нужно помнить, что, хотя для них и выполняется дистрибутивный закон, т. е.
-йгИ> +
й (В) = ?(А + В),
дх
они не подчиняются коммутативному закону. Так, например, если U зависит от х, то Ud(V)/dx — это не то же самое, что d(UV)/d х.
Выразим теперь градиент скалярной величины, скажем ф, дивергенцию и ротор вектора V в матричном обозначении.
250
Г лава 5
2.4
Градиент скалярной величины ф определяется следующими равенствами:
' дф/дх'
grad ф = 1 дф/дх + j дф/ду + к дф/дг — [i j к] дф/ду
L дф/дг J
Г д/дх!
= Р i Ч д/ду I ф = АтОф,
L д/дг -I
где
Г д/дх!
G=l д/ду I и GT = [д/дх д/ду д/дг].
f-д/дг J
2.6
Дивергенция вектора V дается выражением
divV^^r + 1& + 1йГтт №дх д1дУ WI | = G4.
[]-
-Fa-
2.6 •
Ротор вектора V определяется следующими соотношениями: rot V = i (dVs/dy - dVJdz) + j (dVx/dz - dV^/dx) +
+ k{dV2/dx-dV]/dy)^
[dV:i/dy — dV 2/dz' dV i/dz - dV3/dx =~ dVJdx — dV t/dy-Г 0 -d/dz + д/ду"1 Г Vi"I
= [i J ЦI + d/dz 0 U, =W,
L -д/ду +д/дх o JLk3J
где
[0 —d/dz + д/ду 1 + d/dz 0 — д/дх I.
- д/ду + д/дх О J
Воспользуемся теперь матричным методом для доказательства некоторых хорошо известных тождеств.
Распространение света в кристаллах
251
2.7.
Если div V = 0 (скаляр), то Q = GTV (см. п. 2.5), а grad div V = grad 0 = A^GQ (см. п. 2.4), или
[д/дх~1
д/ду I [д/дх д/ду d/dz] V — д/дг\
д/дг
Г д2/дх2 дР/дхду д2/дхдг
¦ Ат I d2jdy дх d2/dif д2/ду дг
L tfjdzdx д2/дгду д2/дг2
V=ATMV.
(Путем прямой проверки можно убедиться в том, что Мт = М.)
2.8
В матричной форме вектор V имеет вид ATV (см. п. 2.1). Его ротор (обозначим его через С) равен /4ТЛК, т. е. в матричном представлении равен произведению /4ТД на вектор V, причем множитель /4Т является матрицей, стоящей слева в одном из матричных представлений вектора V (см. п. 2.1). Таким образом,
Т = rot rot V = rot С = Ат& (AF) =
=лт|
О - д/дг + д/дг О
L — д/ду + д/дх
[ — дР/дг2 — д2/ду2 + д2/дх ду + сР/дх дг AT(M-L)V;
+ д/ду — д/дх О
О
+ д/дг д/ду
+ д2/дхду - д2/дг2 - д2/дх2 + д2/дудг
— д/дг + д/ду О — д/дх + д/дх О + д2/дх дг + д2/дг ду — д2/ду2— д2/дх2.
V=
здесь
262
Глава S
2.9.
Пусть 0 — любая скалярная функция координат х, у, г. Тогда
rot grad 0 = rot (ЛтС0) (см. п. 2.4) == ЛТАО0 (см. п. 2.6) —
[О — д/дг +д/ду 1 Г д/дх Л
+ djdz 0 — д/дх I I д/ду 10 =
— д/ду + д/дх О J t д/dz J
Г — дР/дг ду + сР/ду dzl ГО
= Ат + &/дгдх - дР/дхдг 0
=лт [о]е=о:
L — &/ду дх + ёР/дх ду -• L 0 ¦
2.10
div rot V = div (Лт АК) (см. п. 2.6) = GT AV (см. п. 2.5) =
Г 0 — д/дг + д/ду'\
-Ыг W -щ+У* 0 -<** к-
L — д/ду + д/дх 0 J
L\dydz dzdyj Кдхдг'дгдх) Кдхду'дудх) J
= [0 0 0]F=0.
f а ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
3.1. Матричная форма уравнений Максвелла и вывод общего волнового уравнения для электрического поля
Предполагается, что читателю знакомы физические идеи н положения, которые приводят к уравнениям Максвелла, а также векторная форма этих уравнений. Пользуясь системой обозначений, введенной в предыдущем параграфе, четыре уравнения. Максвелла можно записать в матричной форме следующим образом:
div D = 0 -*• GTD = 0 (см. п. 2.5), (6.1)
div В = 0 -> GTB = 0,
div Н = 0 —> GTH = 0. *6,2)
(Магнитные свойства среды предполагаются изотропными, так что из равенства нулю div В следует равенство нулю div Н.)
rotE = --f-^^A?re_|B (слп 26)> (53)
