Введение в матричную оптику - Джеррард А.
Скачать (прямая ссылка):
tf2=4(/ + Q), tf2=4(/-Q), sin2 А • V2 KS
4НгК2 I2 - Q2 '
Таким образом, уравнение, описывающее колебания, принимает вид
2х2 4Uxy 2у2____V2
I+Q I2-~Q2 ' I — Q ~ I2 — Q2'
ИЛИ
2 x2(I-Q) 4Uxy ¦ 2 у2 (I+Q) .
у2 у2 ~Т у 2 *•
Введем следующие величины:
G=w и F = 1Я.+91
Г у 2 > u уГ и 1 yi
В новых обозначениях наше уравнение записывается в виде Px2-2Gxy + Fy*=\,
Проще всего найти ориентацию и отношение осей эллипса следующим образом. Перепишем наше уравнение в полярных координатах, причем если точка с координатами (R, ф) соответствует точке с декартовыми координатами (*, у), то х = R cos ф, у — R sin ф, и уравнение принимает вид
PR2 cos2 ф — 2GR2 cos ф sin ф -f FR2 sin2 ф = 1.
Используя хорошо известные формулы для cos 2ф и sin 2^>, получаем
PR2 (1 + cos 2ф)/2 - GR2 sin 2ф + FR2 (1 - cos 2ф)/2 = 1.
Обозначая здесь 2ф = р и 2/R2 = W, находим следующее выражение для W:
Ц7 = (Р + f)-20sinp + (P — F) cos р.
На концах большой и малой осей эллипса R принимает соответственно максимальное и минимальное значения, и, следовательно, W также имеет соответственно минимум и максимум. Таким образом, значения р, соответствующие осям эллипса, определяются корнями уравнения dW/d$ = 0:
dW/dfi = - 2G cos р — (Р — F) sin p.
Следовательно, если а является значением р на оси эллипса, то можно написать
j... _ sin а 20 tga— cosa ~ F-P'
Это соотношение определяет два возможных значения а.
202
Глава 4
Последовательные значения угла, для которых тангенс имеет одну и ту же величину, отличаются на я; поэтому если aj — наименьшее, а аг — наибольшее значение а из интервала 0 -4- 2я, то «2 = «1 + я, так что sin a2 = —sin а\ и cos а2 = —cos ai. Следовательно, если W\ и И?г — соответствующие значения переменной 2/R2, то можно написать соотношение
(Р + F) — 2G sin а, -М-Р — F) cos Oj R\ W2 (P + F) — 2G sin a2 + (P — F) cos a2
Подставляя в это соотношение параметры Стокса, находим, что наименьший угол а/2, который одна из осей эллипса составляет с осью х, дается выражением
* 2 G U , па А
tgg= р_р ==-Q = tg 26 cos А.
При этом отношение квадратов длин малой и большой осей после небольших преобразований записывается в виде
I — -f- t/g) _ 1 — V(T^sin228 sin2 A)
/ + V(Q2 + и2) ~~ 1 + V(1 - Sin2 20 sin2 A) '
Полученные нами соотношения можно проверить экспериментально, используя два поляроида, фазовую пластинку и фотоэлемент.
Эти соотношения связывают параметры Стокса одной пло-скополяризованной волны с соответствующим столбцом Максвелла. В то же время параметры Н и К определяют амплитуды колебаний вектора электрического поля, которые при оптических частотах нельзя наблюдать непосредственно. Параметры Стокса связаны линейно с непосредственно измеряемыми с помощью фотоэлемента энергетическими характеристиками — они определяются реально измеряемой интенсивностью или разностью интенсивностей. (Такие измерения мы обсудим в § 4 настоящей главы.)
Исходя из этого различия, сформулируем два важных следствия, которые можно применять в тех случаях, когда мы смешиваем два или более пучка, состояния поляризации которых известны, и хотим предсказать поляризацию полученной смеси.
а) Если смешиваемые волны взаимно когерентны, то необходимо складывать соответствующие столбцы Максвелла, с тем чтобы получить стоЛбец Максвелла смеси. (Этот случай, соответствующий сложению амплитуд, реализуется главным образом, когда пучки выходят из полностью компенсированного интерферометра или получены от одного лазерного источника.)
Матрицы для описания состояния поляризации света
203
б) Если же смешиваемые волны взаимно некогерентны, то следует складывать их векторы Стокса, с тем чтобы получать вектор Стокса смеси. Этот случай соответствует сложению интенсивностей и встречается гораздо чаще, чем предыдущий случай, например всегда, когда мы имеем дело с неполяризованным или лишь с частично поляризованным светом. При этом эффективные значения Я, /С и Д определяются средними статистическими значениями, полученными за конечный интервал времени наблюдения. Математический анализ данного случая рассмотрен в приложении III.
В приложении III показано, что для полностью поляризованного света всегда справедливо равенство I2 = Q2 + U2 + V2, а для полностью неполяризованного света три компоненты Q, U и
V обращаются в нуль и остается только один параметр интенсивности I.
Частично поляризованный свет можно характеризовать степенью поляризации Р. Эта величина равна положительному значению корня квадратного из отношения (Q2+ U2 + V2)/I2. Для любого физически реализуемого светового пучка значение параметра Р лежит между нулем и единицей.
При желании частично поляризованный свет можно разложить на два независимых луча, один из которых будет полностью поляризован, а другой полностью деполяризован. Очевидно, это разложение имеет вид
-I - -PI- г(1-Р)/-1
Q Q 0
и — и + 0
-V - -V - 0
Однако во многих случаях удобнее использовать другое разложение на два полностью поляризованных луча с противоположными состояниями поляризации. При условии что Р не обращается в нуль, получаем
